data/OlymMATH-ZH-HARD.jsonl

{"problem": "设 $a, b, c \\in \\mathbb{R}$, $a^3 b + b^3 c + c^3 a = 3$, 求下式的最小值 $f(a, b, c) = (\\sum a^4)^4 + 1000 \\sum a^2 b^2$.", "answer": "2625", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-0-ZH"}
{"problem": "若一个正方体的八个顶点到某平面的距离分别为 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, 考虑这个正方体的所有可能的棱长. 假设可能的棱长构成了集合 $S$, 求 $S$ 中所有元素的平方和.", "answer": "210", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-1-ZH"}
{"problem": "对于 $i = 1, 2, \\cdots, n$, 都有 $x_i < 1$, 且 $| x_1 | + | x_2 | + \\cdots + | x_n | = 19 + | x_1 + x_2 + \\cdots + x_n |$, 求正整数 $n$ 的最小值.", "answer": "11", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-2-ZH"}
{"problem": "求最少需要几个正方体 (可悬空), 使其三视图均为 $3 \\times 3$ 的方格.", "answer": "8", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-3-ZH"}
{"problem": "设 $x$, $y$, $z$ 都是正实数, 求下式的最小值 $f(x, y, z) = \\frac{(2 + 5y)(3x + z)(x + 3y)(2z + 5)}{xyz}$.", "answer": "241 + 44\\sqrt{30}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-4-ZH"}
{"problem": "已知椭圆 $x^{2} / 4 + y^{2} = 1$, $N_{1}(-1, 0)$, $N_{2}(1, 0)$, $M(3, 0)$, 过 $M$ 的直线交椭圆于 $P$, $Q$ 两点, 连 $N_{1}P$, $N_{2}Q$, 得交点 $R$. 可以证明 $R$ 的轨迹形成一条二次曲线, 求它的离心率.", "answer": "\\frac{\\sqrt{51}}{6}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-5-ZH"}
{"problem": "将编号为 $1, 2, \\dots, 9$ 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上, 每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 $S$. 求使 $S$ 达到最小值的放法的概率. 注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合, 则认为是相同的放法.", "answer": "\\frac{1}{315}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-6-ZH"}
{"problem": "将边长为 $10$,  $12$,  $14$ 的三角形沿三条中位线折起来围成四面体. 求四面体的外接球直径的值.", "answer": "\\sqrt{55}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-7-ZH"}
{"problem": "对于 $k$, $n \\in \\mathbf{Z}_{+}$, 设有限数列 $\\{a_{k}\\}$ 的项数为 $n$, 其中, $a_{k} \\leqslant m$, $a_{k}$, $m \\in \\mathbf{Z}_{+}$. 若 $m=2025$, 试确定项数 $n$ 的最大值, 使得数列 $\\{a_{k}\\}$ 满足：(1) 对任意一项 $a_{k}$, 若存在 $a_{k-1}$ 与 $a_{k+1}$, 则 $a_{k-1} \\neq a_{k+1}$；(2) 不存在正整数 $i_{1} < i_{2} < i_{3} < i_{4}$, 使得 $a_{{i_{1}}} = a_{{i_{3}}} \\neq a_{{i_{2}}} = a_{{i_{4}}}$.", "answer": "8098", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-8-ZH"}
{"problem": "已知椭圆 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$, $P(x_{0},y_{0})$ 为椭圆上的一点, 且 $x_{0}>0$. 过点 $P$ 作圆 $x^{2}+y^{2}=b^{2}$ 的切线, 与椭圆的第二个交点为 $Q$. 设 $I$ 为 $\\triangle PFQ$ 的内心, $\\angle PFQ=2\\alpha$. 若 $a^2=\\sqrt{3}, b^2=\\sqrt{2}$, 求 $|FI| \\cos \\alpha$ 的值.", "answer": "\\sqrt[4]{3}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-9-ZH"}
{"problem": "将 0 至 9 这十个数字排列成首位不为零的不重复的十位数, 求能被 99 整除的十位数的个数.", "answer": "285120", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-10-ZH"}
{"problem": "设 $n$ 个互异的正整数 $a_1, a_2, \\dots, a_n$ 之和为 $2000$. 记 $A = \\max\\{a_1, a_2, \\dots, a_n\\}$. 求 $A+n$ 的最小值. （$n$ 不是事先给定的）", "answer": "110", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-11-ZH"}
{"problem": "给定正整数 $n=2024$. 求最大的整数 $M$ 的值, 使得对任意正整数 $a_{1}, a_{2}, \\ldots, a_{n}$, 均有 $[\\sqrt{a_{1}}]+[\\sqrt{a_{2}}]+\\cdots +[\\sqrt{a_{n}}]\\geqslant [\\sqrt{a_{1}+a_{2}+\\cdots +a_{n}+M\\min \\{a_{1},a_{2},\\cdots ,a_{n}\\}}]$, 其中, $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.", "answer": "1364850", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-12-ZH"}
{"problem": "已知 $m> 0$, 关于 $x$ 的方程 $(mx-3+\\sqrt{2})^{2}-\\sqrt{x+m}=0$ 在区间 $[0,1]$ 上恰有两个不同的实根. 求实数 $m$ 的取值范围.", "answer": "[3,193-132\\sqrt{2}]", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-13-ZH"}
{"problem": "一个班有 25 名学生. 老师想要准备 $N$ 块糖果举办竞赛, 并按照成绩分配糖果 (分数相同得到相同数目的糖果, 分数越少得到的糖果越少, 可以是 0 块). 求 $N$ 的最小值, 使得无论竞赛有多少题目, 以及学生的答题情况如何, 都可以这样分配糖果.", "answer": "600", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-14-ZH"}
{"problem": "设 $n$ 为正整数, 集合 $T_{n}$ 为数集 $A_{n}=\\{k \\mid k \\in \\mathbf{Z}_{+}, 且 k \\leqslant n\\}$ 的一个子集, 且 $T_{n}$ 中任意两个数之差不等于 4 或 7. 若 $T_{n}$ 的元素个数的最大值记为 $f_{n}$ (如 $f_{1}=1$, $f_{2}=2$), 求 $\\sum_{n=1}^{2023}f_{n}$ 的值.", "answer": "932604", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-15-ZH"}
{"problem": "试求最大的正整数 $n \\le 2025$ 使得存在正整数数列 $a_1 < a_2 < \\cdots < a_n$, 使得 $a_i + a_j (1 \\le i < j \\le n)$ 互不相同, 且模 $4$ 意义下各余数出现的次数相同.", "answer": "1296", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-16-ZH"}
{"problem": "记 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. 数列 $\\{x_n\\}$ 满足: $x_1 = 1$, $x_{n+1} = 4x_n + [\\sqrt{11}x_n]$. 求 $x_{2021}$ 的个位数字.", "answer": "9", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-17-ZH"}
{"problem": "已知正三棱锥 $P-ABC$ 与正三棱锥 $Q-ABC$ 内接于同一个单位球 $O$, 两顶点 $P$, $Q$ 在底面 $ABC$ 的异侧. 设二面角 $P-AB-C$, 二面角 $Q-AB-C$ 的平面角分别为 $\\alpha$, $\\beta$. 求 $AB \\tan(\\alpha + \\beta)$ 的值.", "answer": "-\\frac{4\\sqrt{3}}{3}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-18-ZH"}
{"problem": "在 $\\triangle ABC$ 中, $AB = AC$, $\\angle BAC = 30^\\circ$. 在边 $AB$ 上取五等分点 $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$, 点 $A$, $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$, $B$ 顺次排列. 记 $\\theta_k = \\angle BT_k C$ ($k = 1, 2, 3, 4$). 求 $\\tan A \\cdot \\tan \\theta_1 + \\sum_{k=1}^3 \\tan \\theta_k \\cdot \\tan \\theta_{k+1} - \\tan \\theta_4 \\cdot \\tan B$ 的值.", "answer": "-5 - \\frac{10 \\sqrt{3}}{3}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-19-ZH"}
{"problem": "给定一个 $2022 \\times 2022$ 的方格表.在方格表的每格中填入 $A$, $B$, $C$, $D$ 四种颜色之一. 若方格表中每一个 $2 \\times 2$ 的正方形都有四种颜色, 求有多少种不同的完美表格.", "answer": "12 \\times 2^{2022} - 24", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-20-ZH"}
{"problem": "设正整数 $a$, $b$, $c$, $d$ 满足 $a < b < c < d$, 且其中任意三个两两不同的数都可作为一个钝角三角形的三边长. 求 $d$ 的最小值.", "answer": "14", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-21-ZH"}
{"problem": "设函数 $f(x)=\\sin^4 \\omega x - \\sin \\omega x \\cdot \\cos \\omega x + \\cos^4 \\omega x (\\omega > 0)$. 若存在 $a, b \\in [0, \\pi]$, 使得 $f(a) + f(b) = \\frac{9}{4}$, 求 $\\omega$ 的最小值.", "answer": "\\frac{7}{12}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-22-ZH"}
{"problem": "给定一个3行2025列的方格表, 一只蚂蚁从左下角的格出发, 每次可移动到有公共边的格. 若蚂蚁不重复地走遍方格表的每个格并且最终到达方格表的右上角, 求不同的走法有多少种.", "answer": "2^2023", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-23-ZH"}
{"problem": "已知双曲线 $x^2 - \\frac{y^2}{3} = 1$ 的左, 右焦点为 $F_1$, $F_2$, 过 $F_2$ 的直线与双曲线右支交于 $A$, $B$ 两点. 求 $\\triangle AF_1F_2$, $\\triangle BF_1F_2$ 的内切圆半径之和的取值范围.", "answer": "\\left[2, \\frac{4}{3}\\sqrt{3}\\right)", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-24-ZH"}
{"problem": "已知对任意的正整数 $n$, $\\tau(n)$ 表示 $n$ 的正约数的个数, $\\varphi(n)$ 表示与 $n$ 互质但是小于 $n$ 的正整数的个数. 若正整数 $n$ 满足, $n, \\tau(n), \\varphi(n)$ 中其中之一为其他两数的算术平均, 则称为好数. 求共有多少个好数.", "answer": "4", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-25-ZH"}
{"problem": "设 $a, b, c$ 是正有理数, 且 $a+1/b, b+1/c, c+1/a$ 均为整数. $a + b + c$ 的所有可能的值构成了集合 $S$, 求 $S$ 中所有元素之积.", "answer": "\\frac{21}{2}", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-26-ZH"}
{"problem": "已知椭圆 $C: x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1$ $(a>b>0)$ 的离心率 $e=4 / 5$, $P$ 为椭圆上异于长轴左右顶点 $A$, $B$ 的任意一点, $F_{1}$, $F_{2}$ 分别为椭圆的左右焦点, 且 $\\angle APB=2 \\alpha$, $\\angle F_{1} P F_{2}=2 \\beta$, 求 $\\tan \\beta \\cdot \\tan 2 \\alpha$ 的最小值.", "answer": "-\\frac{5}{2}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-27-ZH"}
{"problem": "已知 $\\frac{by}{z}+\\frac{cz}{y}=a$, $\\frac{cz}{x}+\\frac{ax}{z}=b$, $\\frac{ax}{y}+\\frac{by}{x}=c$, 且 $abc=1$, 求 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的值.", "answer": "5", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-28-ZH"}
{"problem": "在矩形 $ABCD$ 中, $AB=2$, $AD=4$, 点 $E$ 在线段 $AD$ 上, 且 $AE=3$. 现分别沿 $BE$、$CE$ 将 $\\triangle ABE$、$\\triangle DCE$ 翻折, 使得点 $D$ 落在线段 $AE$ 上. 求二面角 $D-EC-B$ 的余弦值.", "answer": "\\frac{7}{8}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-29-ZH"}
{"problem": "设 $f(x) = || \\cdots || x^{10} - 2^{2007}| - 2^{2006}| - \\cdots - 2^2| - 2| $. 求 $f(2007)$ 的值.", "answer": "1", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-30-ZH"}
{"problem": "用六种不同的颜色给正四面体 $ABCD$ 各棱染色, 每条棱只能染一种颜色且共顶点的棱不同色. 求所有棱均不同色的概率.", "answer": "\\frac{3}{17}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-31-ZH"}
{"problem": "对于正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, 将 $1, 2, \\cdots, 8$ 分别放在正方体的八个顶点上, 要求每一个面上的任意三个数之和均不小于 $10$. 求不同放法的个数.", "answer": "480", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-32-ZH"}
{"problem": "给定直线上 $2024$ 个点. 现在随机将所有点配成 $1012$ 对, 连成 $1012$ 条线段. 求找到一条线段, 与其余 $1011$ 条线段都相交的概率.", "answer": "\\frac{2}{3}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-33-ZH"}
{"problem": "五名网球选手进行单循环赛（任意两人之间恰好比赛一场）, 且没有平局. 在这十场比赛中的每一场, 两名选手的获胜概率都是 $50\\%$, 且各场比赛的结果相互独立. 求对于整个比赛过程, 存在四位两两不同的选手 $P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$, 满足 $P_1$ 胜 $P_2$、$P_2$ 胜 $P_3$、$P_3$ 胜 $P_4$、$P_4$ 胜 $P_1$ 的概率.", "answer": "\\frac{49}{64}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-34-ZH"}
{"problem": "在椭圆 $\\Gamma: \\frac{x^{2}}{2019} + \\frac{y^{2}}{2018} = 1$ 中, $F$ 为左焦点. 过右焦点的直线 $l$ 与椭圆 $\\Gamma$ 的左准线及椭圆 $\\Gamma$ 依次交于点 $C, A, B$. 若 $\\angle FAB = 40^{\\circ}$, $\\angle FBA = 10^{\\circ}$, 求 $\\angle FCA$ 的值.", "answer": "15^{\\circ}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-35-ZH"}
{"problem": "初始时, 饲养员在一个 $20 \\times 20$ 的方格左上角的格内放置一根质量为 $a$ 的胡萝卜和一只兔子. 接下来, 若兔子与胡萝卜在同一格中, 它将吃掉 $\\frac{1}{20}a$ 质量的胡萝卜, 同时, 饲养员将剩下的胡萝卜等可能地放置到某个格 (有可能是当前的格) 中; 否则, 兔子会移动到一个相邻的格 (两个格相邻当且仅当它们有一条公共边) 中, 且该移动会缩短它与胡萝卜之间的距离. 求兔子吃完整根胡萝卜时, 其移动次数的期望.", "answer": "\\frac{2318}{5}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-36-ZH"}
{"problem": "有一个 $n \\times n$（$n \\geqslant 2$, $n \\in \\mathbb{Z}_{+}$）的方格表, 称其中每个 $1 \\times 1$ 的格为单位格. 在每个单位格里要么放上一枚棋子要么不放任何东西. 若放完棋子之后, 发现对于任意一个单位格, 必有与其相邻（即异于该单位格且与该单位格至少有一个公共顶点的单位格）的某个单位格中有一枚棋子, 则称放入棋子的总数目为 \"$n$-好数\". 对于每个 $n \\geqslant 2(n \\in \\mathbb{Z}_{+})$, 记 $f(n)$ 是所有的 $n$-好数的最小值. 若常数 $c$ 满足: 对一切 $n \\geqslant 2(n \\in \\mathbb{Z}_{+})$, 均有 $f(n) \\geqslant cn^{2}$ 成立, 求 $c$ 的最大值.", "answer": "\\frac{1}{7}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-37-ZH"}
{"problem": "已知线段 $x+y=1$ ($x\\geqslant 0$, $y\\geqslant 0$) 上有 $2020$ 个点. 求最小的正整数 $k$, 使得对任意这样 $2020$ 个点, 总能存在一种方法将这 $2020$ 个点分为两组, 其中一组点的纵坐标之和不大于 $k$, 另一组的横坐标之和不大于 $k$ (这 $2020$ 个点可以重合).", "answer": "506", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-38-ZH"}
{"problem": "设集合 $A = \\{1, 2, \\cdots, 5\\}$, 由集合 $A$ 的全体子集组成的集合称为 $A$ 的幂集, 记作 $2^A$. 称映射 $f: 2^A \\rightarrow A$ 是 ``完美映射'', 若对任意的 $X, Y \\in 2^A$, 均有 $f(X \\cap Y) = \\min\\{f(X), f(Y)\\}$. 求完美映射的个数.", "answer": "4425", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-39-ZH"}
{"problem": "已知一个正多边形的每条边和对角线恰各染成 $2018$ 种颜色之一, 且所有边及对角线不全同色. 若正多边形中不存在两色三角形 (即三角形的三边恰被染成两种颜色), 则称该多边形的染色是 ``和谐的''. 求最大的正整数 $N$, 使得存在一个和谐的染色正 $N$ 边形.", "answer": "2017^2", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-40-ZH"}
{"problem": "定义函数 $f: \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Z}$, 对任意的 $x, y \\in \\mathbb{Z}$, 均有 $f(x^2 - 3y^2) + f(x^2 + y^2) = 2(x+y)f(x-y)$. 若 $n > 0$, 则 $f(n) > 0$, 且 $f(2015)f(2016)$ 为完全平方数. 求 $f(1) + f(2)$ 的最小值.", "answer": "246", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-41-ZH"}
{"problem": "设集合 $X=\\{1,2,\\cdots ,2022\\}$. 集族 $\\mathcal{F}$ 由 $X$ 的若干互不相同的子集组成, 满足: 对任意的 $F\\in \\mathcal{F}$, 均有 $|F| \\geqslant 800$; 且对任意的 $x\\in X$, 使得 $x\\in F$ 的集合 $F\\in \\mathcal{F}$ 至少有 $800$ 个. 求最小的正整数 $m$, 使得一定存在 $\\mathcal{F}$ 中的 $m$ 个集合的并集为 $X$.", "answer": "1222", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-42-ZH"}
{"problem": "已知在平面直角坐标系内, 点 $P(x, y)$ 的轨迹满足方程组\n$\\begin{cases}\na^{2}x-axy-y=0, \\\\\na^{2}y+axy+x=0,\n\\end{cases}$.\n点 $A(1,t)$ 与 $B(s,2)$ 关于原点中心对称. 求 $\\overrightarrow{AP} \\cdot \\overrightarrow{BP}$ 的最小值.", "answer": "6\\sqrt{3}-5", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-43-ZH"}
{"problem": "已知与圆柱 $OO'$ 底面成 $60^\\circ$ 角的截面 $\\alpha$ 截圆柱侧面所得的平面图形为椭圆, 球 $C_1$、$C_2$ 位于截面 $\\alpha$ 的两侧, 分别与圆柱的侧面、一个底面及截面 $\\alpha$ 相切. 设球 $C_1$、$C_2$、圆柱 $OO'$ 的体积分别为 $V_1$、$V_2$、$V$. 求 $\\frac{V_1+V_2}{V}$ 的值.", "answer": "\\frac{4}{9}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-44-ZH"}
{"problem": "将 $8 \\times 8$ 方格表的 $64$ 个格编号为 $1, 2, \\cdots, 64$, 使得对一切 $1 \\le i \\le 63$, 编号为 $i$ 与 $i+1$ 的两个格均有一条公共边. 求主对角线上的八个格的编号之和的最大值.", "answer": "432", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-45-ZH"}
{"problem": "在 $101 \\times 101$ 的方格表中, 每个格填入集合 $\\{1, 2, \\cdots, 101^2\\}$ 中的一个数, 且集合中的每个数恰用一次. 方格表的左右边界视为同一条线, 上下边界也视为同一条线 (即为一个圆环面). 若无论怎么填, 均存在两个相邻格 (有公共边的) 其所填两数之差不小于 $M$, 求 $M$ 的最大值.", "answer": "201", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-46-ZH"}
{"problem": "有红色、绿色、白色、蓝色 (除颜色外均相同) 的棋子各两枚. 现从中选取七枚镶嵌在一个正六棱锥的顶点处, 每个顶点镶嵌一枚棋子. 求不同的镶嵌方法种数.", "answer": "424", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-47-ZH"}
{"problem": "抛物线 $y^2=2px$ 的内接 $\\mathrm{Rt}\\triangle ABC$, 斜边 $BC \\perp x$ 轴于点 $M$, 延长 $MA$ 到点 $D$, 使得以 $AD$ 为直径的 $\\odot N$ 与 $x$ 轴切于点 $E$, 联结 $BE$, 与抛物线交于点 $F$. 若四边形 $AFBC$ 的面积为 $8p^2$, 且 $A, F$ 点不重合, $p^2=\\sqrt{2}$, 求 $\\triangle ACD$ 的面积.", "answer": "\\frac{15\\sqrt{2}}{2}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-48-ZH"}
{"problem": "给定整数集合 $A = \\{1, 2, \\cdots, 100\\}$. 设函数 $f: A \\rightarrow A$ 满足: （1）对任意的 $1 \\leqslant i \\leqslant 99$, 均有 $|f(i) - f(i+1)| \\leqslant 1$；（2）对任意的 $1 \\leqslant i \\leqslant 100$, 均有 $f(f(i)) = 100$. 求 $\\sum_{i=1}^{100} f(i)$ 的最小可能值.", "answer": "8350", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-49-ZH"}
{"problem": "设集合 $A = \\{0, 1, \\cdots, 2018\\}$. 若 $x, y, z \\in A$, 且 $x^2 + y^2 - z^2 = 2019^2$, 求 $x + y + z$ 的最大值与最小值之和.", "answer": "7962", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-50-ZH"}
{"problem": "若不等式 $2\\sin^2 C + \\sin A \\cdot \\sin B > k \\sin B \\cdot \\sin C$ 对任意的 $\\triangle ABC$ 均成立, 求实数 $k$ 的最大值.", "answer": "2\\sqrt{2}-1", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-51-ZH"}
{"problem": "求最小的实数 $a$, 使得对所有正整数 $n$ 和实数 $0 = x_0 < x_1 < \\cdots < x_n$ 满足\n$$a \\sum_{k=1}^{n} \\frac{\\sqrt{(k+1)^3}}{\\sqrt{x_k^2 - x_{k-1}^2}} \\geq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{k^2 + 3k + 3}{x_k}.$$", "answer": "\\frac{16\\sqrt{2}}{9}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-52-ZH"}
{"problem": "已知 $\\overrightarrow{OA}$、$\\overrightarrow{OB}$ 为非零的不共线的向量. 设 $\\overrightarrow{OC} = \\frac{1}{1+r} \\overrightarrow{OA} + \\frac{r}{1+r} \\overrightarrow{OB}$. 定义点集 $M = \\{K \\mid \\frac{\\overrightarrow{KA} \\cdot \\overrightarrow{KC}}{|\\overrightarrow{KA}|} = \\frac{\\overrightarrow{KB} \\cdot \\overrightarrow{KC}}{|\\overrightarrow{KB}|} \\}$. 当 $K_1$、$K_2 \\in M$ 时, 若对任意的 $r \\geq 2$, 不等式 $|\\overrightarrow{K_1 K_2}| \\leq c |\\overrightarrow{AB}|$ 恒成立, 求实数 $c$ 的最小值.", "answer": "\\frac{4}{3}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-53-ZH"}
{"problem": "在平面区域 $M = \\{(x, y) | 0 \\le y \\le 2 - x, 0 \\le x \\le 2 \\}$ 内任取 $k$ 个点, 均能将这 $k$ 个点分成 $A$、 $B$ 两组, 使得 $A$ 组所有点的横坐标之和不大于 $6$, 而 $B$ 组所有点的纵坐标之和不大于 $6$. 求正整数 $k$ 的最大值.", "answer": "11", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-54-ZH"}
{"problem": "设方程 $4^{1-2x} + \\log_2 x = 0$ 的三个根为 $x_1, x_2, x_3$ ($x_1 < x_2 < x_3$). 求 $\\frac{\\log_2 x_2}{x_1 x_2 x_3}$ 的值.", "answer": "-32", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-55-ZH"}
{"problem": "求最大的 $C \\in \\mathbf{R}_{+}$, 使得从任何实数列 $a_{1}, a_{2}, \\ldots, a_{2022}$ 中均可以选取一部分项, 同时满足以下条件: (1) 任何连续三项不同时被取出；(2) 任何连续三项至少有一项被取出；(3) 被取出的各项之和的绝对值不小于 $C(|a_{1}| + |a_{2}| + \\cdots + |a_{2022}|)$.", "answer": "\\frac{1}{6}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-56-ZH"}
{"problem": "已知对于任意的实数 $x$, 均有 $f(x) = 1 - a \\cos x - b \\sin x - A \\cos 2x - B \\sin 2x \\ge 0$. 求 $(A^2 + B^2)(a^2 + b^2)$ 的最大值.", "answer": "\\frac{27}{32}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-57-ZH"}
{"problem": "已知区间 $[0, 1]$ 内有若干个数（可以相同）, 其和不超过 $S$. 求 $S$ 的最大值, 使得总可以将这些数分成两组, 每组中的各数之和均不超过 $11$.", "answer": "\\frac{253}{12}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-58-ZH"}
{"problem": "设 $\\begin{cases} \\sin \\alpha = \\sin(\\alpha + \\beta + \\gamma) + 1, \\\\ \\sin \\beta = 3\\sin(\\alpha + \\beta + \\gamma) + 2, \\\\ \\sin \\gamma = 5\\sin(\\alpha + \\beta + \\gamma) + 3. \\end{cases}$ 求 $\\sin \\alpha \\cdot \\sin \\beta \\cdot \\sin \\gamma$ 的所有可能值的乘积.", "answer": "\\frac{3}{512}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-59-ZH"}
{"problem": "设 $n \\in \\mathbf{Z}_{+}$, $n \\geqslant 2$, $a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\in \\mathbf{R}$, 且 $a_{1} + a_{2} + \\cdots + a_{n} = 1$. 令 $b_{k} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{16^{k}}} \\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \\cdots + a_{k}^{2}}$ $(1 \\leqslant k \\leqslant n)$. 求 $b_{1} + b_{2} + \\cdots + b_{n-1} + \\frac{4}{3} b_{n}$ 的最小值.", "answer": "\\frac{\\sqrt{15}}{3}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-60-ZH"}
{"problem": "定义异面棱长相等的四面体为等腰四面体. 设等腰四面体 $DBMN$ 的外接球半径为 $R$, $\\triangle BMN$ 的外接圆半径为 $r$. 已知 $DB=MN=a$, $DM=BN=b$, $DN=BM=c$. 求 $\\frac{r}{R}$ 的取值范围.", "answer": "\\left[\\frac{2\\sqrt{2}}{3},1\\right)", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-61-ZH"}
{"problem": "已知 $n = \\overline{d_1 d_2 \\cdots d_{2017}}$, 其中 $d_i \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}$ $(i = 1, 2, \\cdots, 2017)$, 且 $\\sum_{i=1}^{1009} d_i d_{i+1} \\equiv 1 \\pmod{4}$, $\\sum_{i=1010}^{2016} d_i d_{i+1} \\equiv 1 \\pmod{4}$. 求满足条件的 $n$ 的个数.", "answer": "6 \\times 5^{2015}", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-62-ZH"}
{"problem": "设 $x\\in (0,1)$, $\\frac{1}{x}\\notin \\mathbf{Z}$, $a_{n}=\\frac{nx}{(1-x)(1-2x)\\cdots (1-nx)}$, 其中, $n=1, 2, {\\ldots}$. 称 $x$ 为 ``好数'' 当且仅当 $x$ 使上述所定义的 $\\{a_{n}\\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}+\\cdots +a_{10}> -1$ 且 $a_{1}a_{2}\\cdots a_{10}> 0$. 求全体好数在数轴上对应的所有区间的长度之和.", "answer": "\\frac{61}{210}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-63-ZH"}
{"problem": "已知 $a>0$, $b\\in \\mathbf{R}$. 若 $|ax^3-bx^2+ax|\\leqslant bx^4+(a+2b)x^2+b$ 对任意 $x\\in [\\frac{1}{2},2]$ 都成立, 求 $\\frac{b}{a}$ 的取值范围.", "answer": "\\left[\\frac{\\sqrt{2}-1}{2},+\\infty \\right)", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-64-ZH"}
{"problem": "已知 $P$ 为正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 棱 $AB$ 上的一点, 满足直线 $A_1B$ 与平面 $B_1CP$ 所成角为 $60^\\circ$. 求二面角 $A_1-B_1P-C$ 的正切值.", "answer": "-\\sqrt{5}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-65-ZH"}
{"problem": "设 $x \\in [0, 2\\pi]$, 求函数 $f(x) = \\sqrt{4\\cos^2x + 4\\sqrt{6}\\cos x + 6} + \\sqrt{4\\cos^2x - 8\\sqrt{6}\\cos x + 4\\sqrt{2}\\sin x + 22}$ 的最大值.", "answer": "2(\\sqrt{6}+\\sqrt{2})", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-66-ZH"}
{"problem": "求所有的素数 $p$, 使得 $p^2 - 87p + 729$ 为完全立方数.", "answer": "2011", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-67-ZH"}
{"problem": "对任意正实数 $a_1, a_2, \\cdots, a_5$, 若 $\\sum_{i=1}^{5}\\frac{a_i}{\\sqrt{a_i^2+2^{i-1}a_{i+1}a_{i+2}}}\\geqslant \\lambda$, 求 $\\lambda$ 的最大值.", "answer": "1", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-68-ZH"}
{"problem": "若实数 $x$, $y$ 满足条件 $x^2 - y^2 = 4$, 求 $\\frac{1}{x^2} - \\frac{y}{x}$ 的取值范围.", "answer": "(-1, 1)", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-69-ZH"}
{"problem": "求不定方程 $\\arctan \\frac{1}{m} + \\arctan \\frac{1}{n} + \\arctan \\frac{1}{p} = \\frac{\\pi}{4}$ 的正整数解的组数.", "answer": "15", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-70-ZH"}
{"problem": "在 $\\triangle ABC$ 中, 内切圆分别与边 $AB$, $AC$ 切于点 $E$, $F$, $AD$ 为 $\\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的高, 且 $AE+AF=AD$. 求 $\\sin \\frac{A}{2}$ 的取值范围.", "answer": "\\left[\\frac{3}{5},\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-71-ZH"}
{"problem": "已知函数 $f(x) = a(|\\sin x| + |\\cos x|) - 3\\sin 2x - 7$, 其中, $a$ 为实参数. 设数对 $(a, n)$ ($n \\in \\mathbf{Z}_{+}$), 使得函数 $y = f(x)$ 在区间 $(0, n\\pi)$ 内恰有 $2019$ 个零点, 所有这样的数对构成了集合 $S$, 求 $\\sum_{(a_0, n_0)\\in S} (a_0^2+n_0)$.", "answer": "4650", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-72-ZH"}
{"problem": "对于正四面体 $ABCD$, $M$、$N$ 分别为棱 $AB$、$AC$ 的中点, $P$、$Q$ 分别为面 $ACD$、面 $ABD$ 的中心. 求 $MP$ 与 $NQ$ 所成的角.", "answer": "\\arccos \\frac{7}{18}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-73-ZH"}
{"problem": "空间有四个点 $A$、$B$、$C$、$D$, 满足 $AB = BC = CD$. 若 $\\angle ABC = \\angle BCD = \\angle CDA = 36^{\\circ}$, 求直线 $AC$ 与 $BD$ 所成角的大小的所有可能值之和.", "answer": "126^{\\circ}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-74-ZH"}
{"problem": "对任意 $2016$ 个复数 $z_{1}, z_{2}, \\cdots, z_{2016}$, 均有 $\\sum_{k=1}^{2016} | z_{k} |^{2} \\geq \\lambda \\min_{1 \\leq k \\leq 2016} \\{ | z_{k+1} - z_{k} |^{2} \\}$, 其中, $z_{2017} = z_{1}$. 求 $\\lambda$ 的最大值.", "answer": "504", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-75-ZH"}
{"problem": "设 $\\triangle ABC$ 为椭圆 $\\Gamma: \\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的内接三角形, 其中 $A$ 为椭圆 $\\Gamma$ 与 $x$ 轴正半轴的交点, 直线 $AB$, $AC$ 斜率的乘积为 $-\\frac{1}{4}$, $G$ 为 $\\triangle ABC$ 的重心. 求 $|GA| + |GB| + |GC|$ 的取值范围.", "answer": "\\left[\\frac{2\\sqrt{13}+4}{3}, \\frac{16}{3}\\right)", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-76-ZH"}
{"problem": "已知 $O$ 为坐标原点, $F$ 为椭圆 $C: \\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点, 过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$, $B$ 两点, 椭圆上两点 $P$, $Q$ 满足 $\\overrightarrow{OP} + \\overrightarrow{OA} + \\overrightarrow{OB} = \\overrightarrow{OP} + \\overrightarrow{OQ} = \\mathbf{0}$ 且 $P$, $A$, $Q$, $B$ 四点共圆. 求椭圆 $C$ 的离心率.", "answer": "\\frac{\\sqrt{2}}{2}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-77-ZH"}
{"problem": "已知 $P(x) = x^8 + 3x^7 + 6x^6 + 10x^5 + 15x^4 + 21x^3 + 28x^2 + 36x + 45$, $z = \\cos \\frac{2\\pi}{11} + i\\sin \\frac{2\\pi}{11}$. 求 $P(z)P(z^2)\\cdots P(z^{10})$ 的值.", "answer": "11^8 (5^{11} - 4^{11})", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-78-ZH"}
{"problem": "已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=y$, 圆 $C_{2}: x^{2}+(y-4)^{2}=1$, $P$, $A$, $B$ 是抛物线 $C_{1}$ 上互异的三点, 且点 $P$ 异于原点. 已知直线 $PA$, $PB$ 都与圆 $C_{2}$ 相切, $|PA|=|PB|$. 求点 $P$ 的纵坐标.", "answer": "\\frac{23}{5}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-79-ZH"}
{"problem": "设 $n = 108$, $n$ 项正数列 $x_1, x_2, \\dots, x_n$ 满足 $0 < x_1 \\leqslant x_2 \\leqslant \\cdots \\leqslant x_n$ 及 $x_1 + x_2 \\leqslant x_n$. 求 $\\left(x_1 + x_2 + \\cdots + x_n\\right)\\left(\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2} + \\cdots + \\frac{1}{x_n}\\right)$ 的最小值.", "answer": "210\\sqrt{10}+11035", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-80-ZH"}
{"problem": "过正四面体 $ABCD$ 的顶点 $A$ 作一个形状为等腰三角形的截面, 且该截面与面 $BCD$ 所成角为 $75 ^{\\circ}$, 求这样的截面有多少个.", "answer": "18", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-81-ZH"}
{"problem": "设数列 $\\{a_n\\}$ 满足 $a_0=0$, $a_{n+1}=\\frac{8}{5}a_n+\\frac{6}{5}\\sqrt{4^n-a_n^2}\\left(n\\in\\mathbb{N}\\right)$. 求 $\\sum_{k=0}^{2005} a_k$ 的小数部分(用小数表示).", "answer": "0.84", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-82-ZH"}
{"problem": "平面直角坐标系中, $A(-1, 0), B(1, 0), C(0, 1)$. 假如存在参数 $a$, 使得直线 $l:y=ax+b$ 将 $\\triangle ABC$ 分割成面积相等的两部分, 求 $b$ 的取值范围.", "answer": "\\left[1-\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\frac{1}{2}\\right)", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-83-ZH"}
{"problem": "$a_1, a_2, \\cdots, a_{2016}$ 为 $1, 2, \\cdots, 2016$ 的排列, 且满足 $2017 | (a_1 a_2 + a_2 a_3 + \\cdots + a_{2015} a_{2016})$. 这样的排列有 $K$ 个, 求 $K$ 模 $4066272$ 的余数.", "answer": "2016", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-84-ZH"}
{"problem": "已知 $n$ 为不大于 2021 的正整数, 且满足 $\\left( \\left[ \\sqrt{n} \\right]^2 + 1 \\right) | \\left( n^2 + 1 \\right)$, 求 $n$ 的个数.", "answer": "47", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-85-ZH"}
{"problem": "求所有满足下述条件的有序正整数对 $(m,k)$ 的个数, 其中 $3 \\leqslant k \\leqslant 12$, $2 \\leqslant m \\leqslant 20$. 同时, 用 $m$ 进制循环小数表示 $\\frac{1}{k}$ 时, 循环节内各数字互异, 且删除小数部分前几位可以得到 $\\frac{2}{k}, \\cdots, \\frac{k-1}{k}$ 的 $m$ 进制循环小数表示.", "answer": "21", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-86-ZH"}
{"problem": "已知正整数 $n$ 满足: 在任意连续 $n$ 个正整数中, 一定可以挑出两个数 $a$、$b(a\\neq b)$, 且存在正整数 $k$, 使得 $210|(a^k-b^k)$. 求满足条件的 $n$ 的最小值.", "answer": "9", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-87-ZH"}
{"problem": "四面体 $ABCD$ 的顶点为 $A, B, C, D$. $M_1, \\cdots, M_6$ 为六条棱的中点. 在这 $10$ 个点中任取 $4$ 点, 求它们不共面的概率.", "answer": "\\frac{47}{70}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-88-ZH"}
{"problem": "设 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \\in [0, 1]$, 求 $\\prod_{1 \\le i < j \\le 5} |a_i - a_j|$ 的最大值.", "answer": "\\frac{3\\sqrt{21}}{38416}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-89-ZH"}
{"problem": "求 $\\sum_{k=0}^{1234}\\binom{2016\\times 1234}{2016k}$ 在模 $2017^2$ 下的余数（回答在 $[0, 2017^2)$ 上的那个值）.", "answer": "1581330", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-90-ZH"}
{"problem": "从左到右依次写出 $1$ 到 $10000$ 的全部正整数, 然后去掉那些能被 $5$ 或 $7$ 整除的数, 将剩下的数连成一排组成一个新数, 求新数被 $11$ 除的余数（回答在 $[0, 11)$ 上的那个值）.", "answer": "8", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-91-ZH"}
{"problem": "将形如 $0.a_1 a_2^{(k)} \\cdots a_n^{(k)} \\cdots$ 的十进制小数记为 $A(a_1, k)$, 其数字 $a_1$ 为 $1$ 至 $9$ 的任何一个自然数. 而当 $a_1$ 给定后, $a_2^{(k)}$ 等于乘积 $ka_1$ 的个位数字, $a_n^{(k)}$ 等于乘积 $ka_{n-1}^{(k)}$ 的个位数字, 其中 $n=3, 4, \\cdots$. 求 $\\sum_{k=1}^9 \\sum_{a_1=1}^9 A(a_1, k)$ 的值.", "answer": "\\frac{401}{9}", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-92-ZH"}
{"problem": "设集合 $S\\subset \\{1, 2, \\cdots, 100\\}$. 已知对 $S$ 中任意两个不同元素 $a, b$, 都存在正整数 $k$ 和 $S$ 中的两个不同元素 $c, d$（允许等于 $a$ 或 $b$）, 使 $c < d$, 且 $a + b = c^k d$. 求集合 $S$ 元素个数的最大值.", "answer": "48", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-93-ZH"}
{"problem": "设数列 $\\{a_n\\}$ 满足: (1) $a_1$ 是完全平方数 (2) 对任意正整数 $n$, $a_{n + 1}$ 是使 $2^na_1+2^{n-1}a_2+\\cdots+2a_n+a_{n+1}$ 为完全平方数的最小的正整数. 若存在正整数 $s$, 使得 $a_s = a_{s + 1} = t$, 求 $t$ 的最小可能值.", "answer": "31", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-94-ZH"}
{"problem": "设正整数 $x_1, x_2, \\cdots, x_{2005}$ 满足 $\\sum_{i = 1} ^ {2005} x_i = 432972$, 求 $\\sum_{i = 1} ^ {2005} \\gcd(x_i, x_{i+1}, x_{i+2})$ 的最大值, 其中下标按模 $2005$ 理解.", "answer": "432756", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-95-ZH"}
{"problem": "求最小的整数 $m\\ge 2017$, 使得对任意整数 $a_1, a_2, \\cdots, a_{m}$, 存在 $1 < i_1 < i_2 < \\cdots < i_{2017} \\le m$ 及 $\\varepsilon_1, \\varepsilon_2, \\cdots, \\varepsilon_{2017} \\in \\{-1, 1\\}$, 使得 $\\sum_{j=1}^{2017}\\varepsilon_j a_{i_j}$ 能被 $2017$ 整除.", "answer": "2027", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-96-ZH"}
{"problem": "称一个正整数是``好数'', 如果它可以表示为 $1893$ 个整数的两两之差的平方和. 求最小的非完全平方数的正整数 $a$, 使得任一好数的 $a$ 倍仍然是好数.", "answer": "43", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-97-ZH"}
{"problem": "设 $a_1, a_2, \\cdots, a_{20}$ 是 $20$ 个两两不同的正整数, 且集合 $\\{a_i + a_j | 1 \\le i, j \\le 20\\}$ 中有 $201$ 个不同的元素. 求集合 $\\{|a_i - a_j| | 1 \\le i, j \\le 20\\}$ 中不同元素个数的最小可能值.", "answer": "100", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-98-ZH"}
{"problem": "求不超过 $2009$ 的正整数 $t$ 的个数, 使得对所有自然数 $n$, 有 $\\sum_{k = 0}^n \\binom{2n+1}{2k+1} t^k$ 与 $2009$ 互质.", "answer": "980", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-99-ZH"}