LiveK12Bench: Have Large Multimodal Models Truly Conquered High School-level Examinations?
Paper • 2605.26781 • Published
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id stringlengths 17 22 | set stringdate 2603-01-01 00:00:00 2603-01-01 00:00:00 | subject stringclasses 4
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values | point_value int32 1 55 | question stringlengths 32 1.56k | answer listlengths 1 12 | solution stringlengths 32 3.4k | knowledge_points stringlengths 2 77 | images images listlengths 0 27 | subset listlengths 0 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
zh_2603_math_0001 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $R$ 为实数集，设集合 $A=\{x|1<x<3\}$，集合 $B=\{x|(x+1)(x-2)\geqslant0\}$，则 $A\cup(\complement_{\mathbb{R}}B)=$() \n\nA. $\{x|-1<x<3\}$ B. $\{x|-1<x<1\}$ C. $\{x|1<x<2\}$ D. $\{x|2<x<3\}$ | [
"A"
] | 【解】解：$B=\{x|x\leqslant-1$ 或 $x\geqslant2\}$，所以 $\complement_{\mathbf{R}}B=\{x|-1<x<2\}$，又 $A=\{x|1<x<3\}$，则 $A\cup\complement_{\mathbf{R}}B=\{x|-1<x<3\}$。故选：$A$。 | 集合的并、交、补混合运算 | [] | |
zh_2603_math_0002 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 设函数 $f(x)=\frac{1-2x}{1+x}$。下列函数中为奇函数的是？\n\nA. $y=f(x-1)-2$ B. $y=f(x-1)+2$\n\nC. $y=f(x+1)-2$ D. $y=f(x+1)+2$ | [
"B"
] | 解：$\because$ $f(x)=\frac{1-2x}{1+x}$ 的定义域为{x|x≠-1}，$\therefore$ $f(x-1)$ 的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称。y=f(x-1)=$\frac{1-2(x-1)}{1+x-1}$=$\frac{3-2x}{x}$=$\frac{3}{x}$-2。对于A，g(x)=f(x-1)-2=$\frac{3}{x}$-4，g(-x)=f(x-1)-2=-$\frac{3}{x}$-4，g(x)+g(-x)≠0，所以g(x)不是奇函数。对于B，h(x)=f(x-1)+2=$\frac{3}{x}$，且h(-x)=-$\frac{3}{x}$，h(x)+h(-x)=0，所以... | 函数的奇偶性 | [] | |
zh_2603_math_0003 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=-3x上，则cos2θ = ()
A. $-\frac{3}{5}$ B. $\frac{3}{5}$ C. $\frac{4}{5}$ D. $\frac{4}{5}$ | [
"C"
] | 【解答】解：若角θ的终边在直线y=-3x上，则tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{-3x}{x}$=-3，所以cos2θ=$\frac{cos^{2}θ-sin^{2}θ}{cos^{2}θ+sin^{2}θ}$=$\frac{(cos^{2}θ-sin^{2}θ)\div cos^{2}θ}{(cos^{2}θ+sin^{2}θ)\div cos^{2}θ}$=$\frac{1-tan^{2}θ}{1+tan^{2}θ}$=$\frac{1-9}{1+9}$=$\frac{4}{5}$。故选C。 | 二倍角的三角函数值求法；任意角三角函数的定义 | [
"complex_layout"
] | |
zh_2603_math_0004 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知tanα=3，tan(α+β)=$\frac{1}{7}$，则tan2β=（） \n\nA. $-\frac{4}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $-\frac{4}{3}$ D. $\frac{4}{3}$ | [
"D"
] | 【解】由已知得，tanβ=tan[(α+β)-α]=\frac{tan(α+β)-tanα}{1+tan(α+β)tanα}=\frac{\frac{1}{7}-3}{1+\frac{1}{7}\times3}=-2，所以\tan2β=\frac{2\tanβ}{1-\tan^2β}=\frac{-4}{1-4}=\frac{4}{3}。故选：D。 | 两角和与差的三角函数求值 | [] | |
zh_2603_math_0005 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 将函数 $y=\sin 2x$ 图像上的所有点向右平移 $\frac{\pi}{10}$ 个单位，\n\n再将所得图像上各点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），则所得图像对应的函数解析式为（）\n\nA. $y=\sin(4x-\frac{\pi}{10})$ B. $y=\sin(x-\frac{\pi}{10})$ C. $y=\sin(4x-\frac{\pi}{5})$ D. $y=\sin(x-\frac{\pi}{5})$ | [
"C"
] | 【解析】根据三角函数图像变换的概念，将 $y=\sin 2x$ 图像上的所有点向右平移 $\frac{\pi}{10}$ 个单位，得到 $y=\sin 2(x-\frac{\pi}{10})=\sin(2x-\frac{\pi}{5})$ 的图像。再将所得图像上各点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数 $y=\sin[2(2x)-\frac{\pi}{5}]=\sin(4x-\frac{\pi}{5})$ 的图像。故选 C。 | 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像变换 | [] | |
zh_2603_math_0006 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 酒驾是严重违反交通法规、危害交通安全的行为。根据国家有关规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量每100毫升达到$20 \sim 79 \mathrm{mg}$为酒后驾车，$80 \mathrm{mg}$及以上为醉酒驾车。假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了每$100 \mathrm{~mL}$含$240 \mathrm{mg}$。如果在停止喝酒后，他血液中的酒精含量以每小时$20 \%$的速度减少，且他想要在不违反交通法规的情况下驾驶汽车，则他至少需要经过多少小时才能驾驶汽车？（参考数据：$\lg 2 \approx 0.3, \lg 3 \approx 0.48$）
A. 11
B. 10
C. 9
D. ... | [
"A"
] | 【解答】解：假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了每100 mL含240 mg。如果在停止喝酒后，他血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，且他想要在不违反交通法规的情况下驾驶汽车，
则每100 mL血液中的酒精含量必须低于20 mg，
即经过$t$小时后，$240(1-20\%)^t < 20$，所以$0.8^t < \frac{1}{12}$，
两边取对数得$t \lg 0.8 < -\lg 12$，
即$t > \frac{-\lg 12}{\lg 0.8} = \frac{\lg 12}{1-\lg 8} = \frac{\lg 3 + 2\lg 2}{1-3\lg 2} \approx \fra... | 根据实际问题选择函数类型 | [] | |
zh_2603_math_0007 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且满足 $f(-x)=f(2+x)$。若 $f(1)=2$，则 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2022)=$() \n\nA. \-2022 B. 0 C. 2 D. 2022 | [
"C"
] | 解：由于 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，有 $f(0)=0$，$f(-x)=-f(x)$；又 $f(-x)=f(2+x)\Rightarrow f(2+x)=-f(x)\Rightarrow f(x+4)=f(x)$，即 $f(x)$ 是周期为4的函数，$f(2)=-f(0)=0$，所以 $f(2)=0$。又 $f(1)=2$，则 $f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2$，$f(4)=f(4-4)=f(0)=0$，因此 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$。而 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2022)=505[f(1)+f(2)+f(3)+f... | 抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性 | [
"complex_layout",
"long_reason"
] | |
zh_2603_math_0008 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）9. 函数 $f(x)=\cos(2x+\varphi)(0<\varphi<\pi)$ 的图象关于点 $(\frac{2\pi}{3},0)$ 中心对称，则 （）\n\nA. 直线 $x=-\frac{7\pi}{12}$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条对称轴\n\nB. 将 $y=\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后得到函数 $f(x)$ 的图象\n\nC. 函数 $f(x)$ 在区间 $(\frac{19\pi}{24}, \pi)$ 上单调递增\n\nD. 函数 $f(x)$ 在区间 $[\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{6}]$ 上的值域为 $[-... | [
"AB"
] | 解：$f(x)$ 的图象关于点 $(\frac{2\pi}{3},0)$ 中心对称，则 $f(\frac{2\pi}{3})=\cos(\frac{4\pi}{3}+\varphi)=0$，所以 $\frac{4\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$，即 $\varphi=\frac{5\pi}{6}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$。由于 $0<\varphi<\pi$，得 $\varphi=\frac{\pi}{6}$，因此 $f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。由 $f(-\frac{7\pi}{12})=\cos(-\pi)=-1... | 余弦函数的图象；函数 $y=A\sin(\omegax+\varphi)$ 的图象变换 | [] | |
zh_2603_math_0009 | 2603 | math | 选择题 | 6 | (多选题) 10. 已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=4$，则下列不等式恒成立的是（ ）\n\nA. $a^{2}+b^{2}\geqslant8$ B. $\log_{2}a+\log_{2}b\geqslant2$ C. $2^{a}+2^{b}\geqslant8$ D. $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\leqslant4$ | [
"ACD"
] | 解：对于选项A：已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=4$，有 $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=4^{2}-2ab\geqslant16-2(\frac{a+b}{2})^{2}=8$，当 $a=b=2$ 时取等号，故A正确；对于选项B：已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=4$，有 $\log_{2}a+\log_{2}b=\log_{2}ab\leqslant\log_{2}(\frac{a+b}{2})^{2}=\log_{2}4=2$，当 $a=b=2$ 时取等号，故B错误；对于选项C：已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=4$，有 $2^{a}+2^{b}\geqslant2\sqr... | 基本不等式及其应用 | [] | |
zh_2603_math_0010 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 命题“$\forall x\in\mathbb{R},\ln(x^2+1)>0$”的否定是________________。 | [
"$ \\exists x_{0} \\in \\mathbb{R}, \\ln (x_{0}^{2}+1) \\leqslant 0.$"
] | 【解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题，因此命题“$\forall x\in \mathbf{R},\ln (x^{2}+1)>0$”的否定为：$\exists x_{0}\in \mathbf{R},\ln (x_{0}^{2}+1)\leqslant 0.$ 故答案为：$\exists x_{0}\in \mathbf{R},\ln (x_{0}^{2}+1)\leqslant 0.$ | 求全称量词命题的否定 | [] | |
zh_2603_math_0011 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，且 $f(-1)=0$，则不等式 $f(\lg x)>0$ 的解集为____________________。 | [
"（\\frac{1}{10}，10）"
] | 【解】由于偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，且 $f(-1)=0$，则 $f(1)=f(-1)=0$。于是 $f(\lg x)>0 \Leftrightarrow |\lg x|<1 \Leftrightarrow -1<\lg x<1$，解得 $\frac{1}{10}<x<10$。因此原不等式的解集为 $(\frac{1}{10},10)$。故答案为：$(\frac{1}{10},10)$。 | 奇偶性与单调性的综合应用 | [] | |
zh_2603_math_0012 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 设当 x=θ 时，函数 $f(x)=2\sin x+\cos x$ 取得最小值，则 $\cos(\theta+\frac{\pi}{4})=$____________________。 | [
"$\\frac{\\sqrt{10}}{10}$"
] | 【解】对于 $f(x)=2\sin x+\cos x=\sqrt{5}\sin(x+\alpha)$，其中 $\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}$，且 α 为锐角。当 x=θ 时，函数取得最小值，∴ $\sqrt{5}\sin(\theta+\alpha)=-\sqrt{5}$，即 $\sin(\theta+\alpha)=-1$，∴ $\cos(\theta+\alpha)=0$。于是可令 $\theta+\alpha=-\frac{\pi}{2}$，即 $\theta=-\frac{\pi}{2}-\alpha$，所以 $\cos(\thet... | 两角和与差公式；三角函数的最值 | [
"complex_layout"
] | |
zh_2603_math_0013 | 2603 | math | 解答题 | 13 | 15. 求值：
(1) 若 $a^{\frac{2}{5}}=\frac{4}{25}(a>0)$，求 $\log_{\frac{2}{5}}a$ 的值；
(2) 若 $(\sqrt{3})^{m}=5$，$\log_{27}5=n$，求 $9^{m-3n}$ 的值。 | [
"5",
"$25$"
] | 解：(1) 由已知得 a=$((\frac{4}{25})^{\frac{5}{2}}$=$((\frac{2}{5})^{2\times\frac{5}{2}}$=$((\frac{2}{5})^{5}$，则 $\log_{\frac{2}{5}}a=\log_{\frac{2}{5}}(\frac{2}{5})^{5}=5$；(2) 由已知得 $3^{\frac{m}{2}}=5$，即 $3^{m}=25$，由 $\log_{27}5=n$，得 $27^{n}=3^{3n}=5$，则 $9^{m-3n}=3^{2(m-3n)}=\frac{3^{2m}}{(3^{3n})^{2}}=\frac{25^{2}}{5^{2}}=25... | 对数运算的求值；有理指数幂与根式化简运算的求值 | [
"complex_layout",
"rigorous_process"
] | |
zh_2603_math_0014 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 函数 $f(x)=2\sqrt{3}\sin x\sin(x-\frac{\pi}{2})-2\cos^{2}x+1.$ \n\n(1) 讨论函数 $f(x)$ 在 $[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{6}]$ 上的单调性； \n\n(2) 若 $f(x_{0})=-\frac{6}{5}$，$x_{0}\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$，求 $\cos2x_{0}$ 的值。 | [
"函数 $f(x)$ 在 $[\\frac{\\pi}{4},\\frac{2\\pi}{3}]$ 上单调增，在 $[\\frac{2\\pi}{3},\\frac{5\\pi}{6}]$ 上单调递减",
"$\\frac{3-4\\sqrt{3}}{10}$"
] | [解答] 解：$f(x)=2\sqrt{3}\sin x\sin(x-\frac{\pi}{2})-2\cos^{2}x+1=-2\sqrt{3}\sin x\cos x-2\cos^{2}x+1=-\sqrt{3}\sin2x-\cos2x$ $=-2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ ， \n\n(1) 因为 $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}]$，所以 $2x+\frac{\pi}{6} \in [\frac{2\pi}{3}, \frac{11\pi}{6}]$， \n\n当 $2x+\frac{\pi}{6} \in [\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}]$... | 三角恒等变换的应用；两角和与差的三角函数；二倍角三角函数 | [] | |
zh_2603_math_0015 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层。某地正在建设一购物中心，计划建造能使用40年的隔热层。已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元。该建筑每年的能源消耗费用$P$（单位：万元）与隔热层厚度$x$（单位：cm）满足关系式：$P(x)=\frac{m}{4x+5}$，(0≤x≤10)。如果不建造隔热层，每年的能源消耗费用为9万元。设$f(x)$为隔热层的建造成本与40年的能源消耗费用之和。
(1) 求$m$的值及$f(x)$的表达式；
(2) 当隔热层厚度为多少时，总费用$f(x)$达到最小值，并求出最小值。 | [
"$m=45$ ，$f(x)=\\frac{1800}{4x+5}+8x$，（0≤x≤10）",
"当隔热层的厚度为 $6.25cm$ 时，总费用 $f(x)$ 达到最小值110万元"
] | 解：(1) 由题意，$P(0)=\frac{m}{5}=9$，所以$m=45$，$f(x)=40P(x)+8x=40×\frac{45}{4x+5}+8x=\frac{1800}{4x+5}+8x$，(0≤x≤10)；(2) $f(x)=\frac{1800}{4x+5}+8x=\frac{1800}{4x+5}+2(4x+5)-10 ≥2\sqrt{\frac{1800}{4x+5}}·2(4x+5)-10=2×60-10=110$。当且仅当$\frac{1800}{4x+5}=2(4x+5)$，即$x=6.25$时取等号，所以当隔热层厚度为6.25 cm时，总费用$f(x)$取得最小值110万元。 | 根据实际问题选择函数类型 | [] | |
zh_2603_math_0016 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 已知函数 $f(x)=e^{-ax}$，函数 $g(x)$ 是定义在实数集 $\mathbb{R}$ 上的奇函数。当 $x>0$ 时，$g(x)=f(x)$，且 $g(\ln\frac{1}{2})=-16$。\n\n(1) 求实数 $a$ 的值，并写出函数 $g(x)$ 在实数集 $\mathbb{R}$ 上的解析式；(2) 若 $h(x)=\ln(f(x)+1)+mx$ 是偶函数，求实数 $m$ 的值。 | [
"a=-4，$g(x)=\\left\\{\\begin{array}{l l}\\mathrm{e}^{4x},&x>0\\\\0,&x=0\\\\-\\mathrm{e}^{-4x},&x<0\\end{array}\\right.$",
"$m=-2$"
] | 解：(1) 当 $x>0$ 时，函数 $g(x)=f(x)=e^{-ax}$。由于 $g(x)$ 是实数集 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，$\ln\frac{1}{2}=-\ln2<0$，则 $g(\ln\frac{1}{2})=g(-\ln2)=-g(\ln2)=-e^{-a\ln2}=-(e^{\ln2})^{-a}=-2^{-a}=-16$，即 $2^{-a}=2^{4}$，所以 $a=-4$。因此当 $x>0$ 时，$g(x)=e^{4x}$。由于 $g(x)$ 是奇函数，当 $x=0$ 时，$g(0)=0$；当 $x<0$ 时，$g(x)=-g(-x)=-e^{-4x}$。所以函数 $g(x)=\left\{\be... | 函数与方程的综合应用；函数解析式的求解方法与常用方法；奇偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合 | [] | |
zh_2603_math_0017 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 已知函数 $f(x)=\log_{\sqrt{2}}(\frac{x}{8})$ 和 $g(x)=\log\frac{1}{2}\sqrt{x}$。
(1) 当 $x\in[2, 16]$ 时，求函数 $h(x)=f(x)g(x)$ 的值域；
(2) 若 $\forall x \in [2, 16]$，不等式 $f(x^2) \cdot f(\sqrt{x}) + k \cdot g(x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围。 | [
"$[-4,\\frac{9}{4}]$",
"$(-\\infty, -12)$"
] | 解：(1) $f(x)=\log_{\sqrt{2}}(\frac{x}{8})=2(\log_{2}x-3)$，$g(x)=\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{x}=-\frac{1}{2}\log_{2}x$，因此 $h(x)=f(x)g(x)=-\log_{2}x(\log_{2}x-3)$。设 $\log_{2}x=t$，由 $x\in[2,16]$ 得 $t\in[1,4]$。令 $m(t)=-t(t-3)=-(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$ $(1\leq t\leq 4)$。当 $t=\frac{3}{2}$，即 $x=2\sqrt{2}$ 时，$h(x)_{max}=\fr... | 恒成立问题；对数函数的定义域 | [] | |
zh_2603_math_0018 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知集合A={y|y=log_{2}x, x>\frac{1}{2}}, B={y|y=\frac{1}{2^{x}}, x>0}, 则A∩B=( ) \n\nA. {x| -1<y<1} B. {y|0<y<1} C. {y|y>1} D. ∅ | [
"B"
] | 【解析】解：集合A={y|y=log_{2}x, x>\frac{1}{2}}={y|y>-1}, B={y|y=\frac{1}{2^{x}}, x>0}={y|0<y<1}, 则A∩B={y|0<y<1}. 故选B. | 集合交集运算；指数函数的值域；对数函数的值域 | [] | |
zh_2603_math_0019 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 2. 已知 $a\geqslant0$, $b\geqslant0$，且 $ab+2a-b=6$，则 $a+b$ 的最小值为（ ）
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $1$ | [
"B"
] | 【解析】由 $ab+2a-b=6$ 得 $(a-1)(b+2)=4$。因为 $a\geqslant0$，$b\geqslant0$，则 $b+2>0$，可知 $a-1>0$。于是 $a+b=(a-1)+(b+2)-1\geqslant2\sqrt{(a-1)(b+2)}-1=4-1=3$，当且仅当 $a-1=b+2$ 时取等号，即 $a=3$，$b=0$。故选：B。 | 利用基本不等式求最值 | [
"complex_layout"
] | |
zh_2603_math_0020 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 在平面直角坐标系中，设角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴。将角α的终边逆时针旋转$\frac{\pi}{6}$，与单位圆交点的纵坐标为$\frac{3}{5}$。则$\sin(\frac{\pi}{6}-2\alpha)=$() \n\nA. $-\frac{7}{25}$ B. $\frac{7}{25}$ C. $-\frac{16}{25}$ D. $\frac{16}{25}$ | [
"B"
] | [解]由题意，得$\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{3}{5}$。所以$\cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})=\cos[2(\alpha+\frac{\pi}{6})]=1-2\sin^{2}(\alpha+\frac{\pi}{6})=1-2\times\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$。因此$\sin(\frac{\pi}{6}-2\alpha)=\sin[\frac{\pi}{2}-(2\alpha+\frac{\pi}{3})]=\cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})=\frac{7}{25}$。故选B。 | 二倍角的三角函数求值；任意角三角函数的定义 | [
"complex_layout"
] | |
zh_2603_math_0021 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 4. $\sin 1$，$\cos 1$，$\tan 1$ 与 1 的大小顺序是 ( ) \n\nA. $\tan 1 > 1 > \cos 1 > \sin 1$ B. $\tan 1 > 1 > \sin 1 > \cos 1$ C. $1 > \tan 1 > \sin 1 > \cos 1$ D. $1 > \sin 1 > \cos 1 > \tan 1$ | [
"B"
] | 解：因为 1 = $\frac{180°}{\pi}$ ≈ 57°18′ > 45°，所以 1 弧度是第一象限角。在第一象限，$y = \tan x$ 单调递增，因此 $\tan 1 > \tan 45° = 1$；在第一象限，$y = \cos x$ 单调递减，因此 $\cos 1 < \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$；在第一象限，$y = \sin x$ 单调递增，因此 $1 = \sin 90° > \sin 1 > \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$；综上所述，$\tan 1 > 1 > \sin 1 > \cos 1$。故选 B。 | 正弦函数的单调性；余弦函数的单调性；正切函数的单调性与周期性 | [] | |
zh_2603_math_0022 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 8月29日，华为在其官方网站正式发布Mate60手机。其大部分组件已实现国产化，5G技术遥遥领先。5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：$C=\mathrm{W} \log _{2}\left(1+\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}}\right)$。该公式表明，在受噪声干扰的信道中，最大信息传输速率$C$取决于信道带宽$\mathrm{W}$、信道内信号的平均功率$\mathrm{S}$以及信道内的高斯噪声功率$N$，其中$\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}}$称为信噪比。当信噪比很大时，对数中的1可以忽略。根据香农公式，若带宽$\mathrm{W}$保持不变，信噪比从1000提升至5... | [
"C"
] | 解：由题意得，$\frac{W1\log_{2}5000}{W1\log_{2}1000}-1=\frac{1g5000}{1g1000}-1=\frac{3+1g5}{3}-1=\frac{4-1g2}{3}-1\approx\frac{1-0.301}{3}\approx23\%$，所以$C$大约增加23%。
故选：C。 | 根据实际问题选择合适的函数类型 | [] | |
zh_2603_math_0023 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 6. 下列函数中，既是减函数又是奇函数的是 ( ) \n\nA. $y=ln(x^{2}+1)$\n\nB. $y=ln\frac{1+x}{1-x}$\n\nC. $y=ln(e^{x}+1)-\frac{1}{2}x$\n\nD. $y=ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)$ | [
"D"
] | 解：A：$y=ln\left(1+x^{2}\right)$ 是偶函数，不符合条件；B：由 $\frac{1+x}{1-x}>0$ 得 -1<x<1，由于 $t(x)=\frac{1+x}{1-x}=-1-\frac{2}{x-1}$ 在 (-1,1) 上单调递增，根据复合函数的单调性，$y=ln\frac{1+x}{1-x}$ 在 (-1,1) 上单调递增，不符合条件；C：设 $g(x)=ln\left(1+e^{x}\right)-\frac{1}{2}x=ln\left(1+e^{x}\right)-ln\frac{1}{2}x=ln\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x\right)$ ，定义域为 $... | 奇偶性与单调性的综合。#JYEOO.COM 鸡优网 | [
"rigorous_process"
] | |
zh_2603_math_0024 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)$，对于任意 $x, y \in \mathbb{R}$，恒满足 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x) \cdot f(y)$，且 $f(1)=\frac{1}{2}$，则下列说法正确的是 ( ) \n\nA. $f(0)=0$\n\nB. $f(x)$ 是奇函数\n\nC. $f(x)≥-1$\n\nD. $f(2025)=1$ | [
"C"
] | [解] 根据已知条件，可取 $f(x)=\cos \frac{\pi x}{3}$，则 $f(0)=1$，$f(x)$ 是偶函数，$f(x)\geqslant-1$，且 $f(2025)=\cos (675\pi)=-1$。\n\n因此 $ABD$ 错误，$C$ 正确。故选 $C$。 | 抽象函数的周期性；函数值；抽象函数的奇偶性 | [
"rigorous_process"
] | |
zh_2603_math_0025 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)=3\sqrt{5}\sin\omega x+3\sqrt{15}\cos\omega x(\omega>0)$ 在区间 $[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$ 上恰有两个对称中心，且 $f(\frac{\pi}{6})=f(\frac{\pi}{2})$，则 $\omega$ 的所有可能取值之和为 () \n\nA. $6$ B. $\frac{21}{2}$ C. $\frac{23}{2}$ D. $16$ | [
"D"
] | 【解析】解：由已知函数 $f(x)=3\sqrt{5}\sin\omega x+3\sqrt{15}\cos\omega x(\omega>0)=6\sqrt{5}\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})$ 在区间 $[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$ 上恰有两个对称中心，且 $f(\frac{\pi}{6})=f(\frac{\pi}{2})$，则其最小正周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$，且有 $\frac{T}{2}\leqslant\frac{\pi}{3}<\frac{3T}{2}$，即 $\frac{\pi}{\omega}\leqslant\frac{\pi}... | 正弦函数的奇偶性与对称性；三角恒等变换与化简求值 | [] | |
zh_2603_math_0026 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）9.已知函数 $f(x)=\frac{2^{x}-b}{2^{x}+b}$，且 $f(2)=\frac{3}{5}$，则（ ）
A．b=1 B．f(x)是减函数 C．函数f(x)的值域为(-1, 1) D．不等式f(3x^{2}-1)+f(x-3)<0的解集为(-\frac{4}{3}, 1) | [
"ACD"
] | 解：对于函数$f(x)=\frac{2^{x}-b}{2^{x}+b}$，则$f(2)=\frac{4-b}{4+b}=\frac{3}{5}$，解得b=1，A正确；$f(x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=1-\frac{2}{2^{x}+1}$，$f(x)$在R上单调递增，B错误；$\because 2^{x}>0$，$\therefore 2^{x}+1>1$，$0<\frac{1}{2^{x}+1}<1$，$-2<\frac{-2}{2^{x}+1}<0$，$\therefore -1<1+\frac{-2}{2^{x}+1}<1$，$\therefore$函数$f(x)$的值域为(-1, 1)，C正确；$... | 奇偶性与单调性的综合 | [
"complex_layout"
] | |
zh_2603_math_0027 | 2603 | math | 选择题 | 6 | (多选题)10. 下列命题中，正确的是（ ）\n\nA. 若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$，则$a>b$\n\nB. 若$0<ac<bc$，则$a^{2}<b^{2}$\n\nC. 若$b>a>0$，$m>0$，则$\frac{b}{a}>\frac{b+m}{a+m}$ \n\nD. 若a＜b＜0，则$(a+\frac{1}{b})^{2}＞(b+\frac{1}{a})^{2}$ | [
"BCD"
] | [解析]解：当a=-1，b=1时，A显然错误；由0＜ac＜bc，得c≠0，当c>0时，得0＜a＜b，则$a^{2}＜b^{2}$，当c<0时，得b＜a＜0，则$a^{2}＜b^{2}$，B正确；若b>a>0，m>0，则b(a+m)-a(b+m)=(b-a)m>0，所以b(a+m)>a(b+m)>0，因此$\frac{b}{a}＞\frac{b+m}{a+m}$，C正确；若a<b<0，则$\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}＜0$，所以a+$\frac{1}{b}$ ＜ b+$\frac{1}{a}$ ＜0，因此(a+$\frac{1}{b}$)^{2}＞(b+$\frac{1}{a}$)^{2}，D正确。故选：BCD。 | 等式与不等式的性质 | [
"complex_layout"
] | |
zh_2603_math_0028 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）11. 在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，定义“15°旋转跳跃”如下：以原点O为中心，将当前点绕O逆时针旋转15°，再将新点到O的距离乘以$\sqrt{3}$。从A开始，连续进行n次“15°旋转跳跃”，得到点列$P_{1}$，$P_{2}$，…，$P_{n}$。参考数据：ln1013=6.92，ln3=1.10。下列说法正确的是（ ）\n\nA. 点$P_{1}$的坐标为$(2\sqrt{3}\cos15^{\circ}, 2\sqrt{3}\sin15^{\circ})$\n\nB. 设$P_{n}$的坐标为$(x_{n}, y_{n})$，则$x_{n}+y_{n}=2^{\frac{3}{2}}3^{\frac... | [
"AC"
] | 解：以原点O为中心，将点A(2,0)绕O逆时针旋转15°，再将新点到O的距离乘以$\sqrt{3}$得到点$P_{1}$。则$|O P_{1}|=2\sqrt{3}$，且15°角的终边为$O P_{1}$。设$P_{1}(x,y)$，则$x=2\sqrt{3}\cos 15^{\circ}$，$y=2\sqrt{3}\sin 15^{\circ}$，所以$P_{1}(2\sqrt{3}\cos 15^{\circ},2\sqrt{3}\sin 15^{\circ})$，故A正确。同理可得$x_{n}=2\cdot(\sqrt{3})^{n}\cos (15n)^{\circ}$，$y_{n}=2\cdot(\sqrt{3})^{n}... | 轨迹方程 | [] | |
zh_2603_math_0029 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 若幂函数 $f(x)=(m^{2}-3m+3)x^{m}$ 为偶函数，且函数 $y=f(x)-ax+a+1$ 的最小值为 2，则实数 $a=$______。 | [
"2"
] | 【解答】解：因为 $f(x)=(m^{2}-3m+3)x^{m}$ 是幂函数，所以 $m^{2}-3m+3=1$，解得 $m=1$ 或 $m=2$。当 $m=1$ 时，$f(x)=x$ 是奇函数，不符合条件；当 $m=2$ 时，$f(x)=x^{2}$ 是偶函数，符合条件。此时，函数 $y=f(x)-a x+a+1=x^{2}-a x+a+1=(x-\frac{a}{2})^{2}-\frac{a^{2}}{4}+a+1$，则当 $x=\frac{a}{2}$ 时，函数取得最小值 $-\frac{a^{2}}{4}+a+1$，则 $-\frac{a^{2}}{4}+a+1=2$，整理得：$a^{2}-4a+4=0$，解得 $a=2$... | 利用函数的最值求解函数或参数；求幂函数的解析式 | [] | |
zh_2603_math_0030 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 13. 设计一条宽30m的道路弯道。弯道的内侧边缘和外侧边缘分别是两个同心圆上的圆弧。弯道中心线到圆心的距离为$45m$（如图所示）。中心线与弯道的内、外侧边缘等距。道路外侧边缘的弧长为$40\pi m$。则该段道路所占面积为________。（单位：$m^{2}$） | [
"900\\pi"
] | 解：由题意，道路的外半径为$OC=45+15=60$，内半径为$OE=45-15=30$。则圆心角为$\frac{40\pi}{60}=\frac{2\pi}{3}$。因此，道路所占面积为$S=S_{扇形COD}-S_{扇形EOF}=\frac{1}{2}\times\frac{2\pi}{3}\times60^{2}-\frac{1}{2}\times\frac{2\pi}{3}\times30^{2}=900\pi m^{2}.$ 故答案为：$900\pi.$ | 扇形面积公式；弧长公式 | [
"rigorous_process"
] | |
zh_2603_math_0031 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 如图所示为一个抽象的城区道路网，其中线段 $|AB|$ 为欧氏空间定义的两点间最短距离，但在城区道路网中，我们只能沿道路行走，不能穿越墙壁。在“曼哈顿几何”中，两点间最短距离记为 $d(A,B)$，定义为 $d(A,B)=|AC|+|CB|$。若 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $d(A,B)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$，也称为“曼哈顿距离”。设 $d(a,n)=|ax-1|+|ax-2|+|ax-3|+\cdots+|ax-n|$ 为“曼哈顿拓展距离”，它由 $n$ 个绝对值的和组成，其中 $n$ 为正整数。例如：$d(3,2)=|3x-1|+|3x-2|$。若 $\forall x\in\m... | [
"(-\\infty,1]"
] | 解：根据曼哈顿距离的定义：$d(A,B)=\left|AC\right|+\left|CB\right|$，若 $A\left(x_{1},y_{1}\right)$，$B\left(x_{2},y_{2}\right)$，则 $d(A,B)=\left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|y_{2}-y_{1}\right|$。由此可得，对于 $\forall x\in\mathbf{R}$，$d(3,2)\geqslant m$ 恒成立。当 $x\leqslant\frac{1}{3}$ 时，$d(3,2)=\left|3x-1\right|+\left|3x-2\right|=1-3x+2-3x=3-6x\geq... | 两点间距离公式 | [] | |
zh_2603_math_0032 | 2603 | math | 解答题 | 13 | 如图所示，单位圆$O$与$x$轴正半轴交于点$A$，点$C$、$B$在圆$O$上，且点$C$在第一象限。点$B$的坐标为$\left(\frac{2}{5}, \frac{\sqrt{21}}{5}\right)$，$\angle AOC=\alpha$，$\triangle BOC$为等边三角形。
(1) 求$\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-\sqrt{3}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}$的值；
(2) 化简$\frac{\sin(\pi-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin(\frac{3\pi}... | [
"（1） $\\frac{2}{5}$",
"（2） $\\frac{\\sqrt{21}-2\\sqrt{3}}{10}$"
] | 解：(1) 由题意，$\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-\sqrt{3}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1)+\frac{\sqrt{3}}{2}(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha=\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})$。又因为$\angle AOC=\alpha$，则角$\alpha+\frac{\p... | 二倍角的三角函数值求法；任意角的三角函数定义；利用诱导公式化简求值 | [] | |
zh_2603_math_0033 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 设函数 $f(x)=ax-(1+a^{2})x^{2}$，其中 $a>0$，区间 $I=\{x|f(x)>0\}$。
(I) 求 $I$ 的长度（注：区间 (α, β) 的长度定义为 β-α）；(II) 给定常数 $k \in (0,1)$，当 $1-k \leq a \leq 1+k$ 时，求 $I$ 的最小长度。 | [
"None"
] | [解] (I) 由于方程 $ax-(1+a^{2})x^{2}=0(a>0)$ 有两个实根 $x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{a}{1+a^{2}}>0$，$f(x)>0$ 的解集为 $\{x|x_{1}<x<x_{2}\}$，因此区间 $I=(0,\frac{a}{1+a^{2}})$，区间长度为 $\frac{a}{1+a^{2}}$。
(II) 令 $d(a)=\frac{a}{1+a^{2}}$，则 $d'(a)=\frac{1-a^{2}}{(1+a^{2})^{2}}$。
令 $d'(a)=0$ 得 $a=1$。由于 $0<k<1$，
当 $1-k\leqslant a<1$ 时，$d'(a)>0$，所... | 基本初等函数的导数；一元二次不等式及其应用 | [] | |
zh_2603_math_0034 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 三角形ABC的顶点A和B分别在矩形CDEF的边DE和EF上移动，已知$CD=\sqrt{3}$，$DE=1$，$\angle ACB=\frac{\pi}{4}$。设$\angle ACD=\theta$，三角形ABC的面积为$f(\theta)$。\n\n(1) 推导$f(\theta)$的表达式；(2) 求$f(\theta)$的最小值。 | [
"(1) $f(\\theta)=\\frac{\\sqrt{6}}{4\\cos\\theta\\cos(\\frac{\\pi}{4}-\\theta)}$，$\\theta\\in[0,\\frac{\\pi}{6}]$",
"(2) $\\sqrt{6}-\\sqrt{3}$"
] | 解：(1) 在直角三角形ADC中，AC=$\frac{CD}{\cos\angle ACD}$=$\frac{\sqrt{3}}{\cos\theta}$，\n\n在直角三角形BCF中，$\angle BCF$=$\frac{\pi}{2}$-$\angle ACB$- $\theta$=$\frac{\pi}{4}$-$\theta$，所以BC=$\frac{CF}{\cos\angle BCF}$=$\frac{1}{\cos( \frac{\pi}{4}-\theta )}$，\n\n因此，三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AC·BCsin$\frac{\pi}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$×... | 三角形中的几何计算；三角恒等式的应用 | [
"long_reason"
] | |
zh_2603_math_0035 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 定义中心对称函数：设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$。若对于 $\forall x \in D$，有 $f(2m-x)+f(x)=2n$，则称函数 $f(x)$ 为中心对称函数，其中 $(m,n)$ 是函数 $f(x)$ 的对称中心。例如，函数 $y=\frac{1}{x}+1$ 是一个中心对称函数，其对称中心为 $(0,1)$。 \n\n(1) 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 的图像关于点 $(1,2)$ 中心对称，且当 x>1 时，$f(x)=x(x+1)$，求 $f(0)$ 和 $f(1)$ 的值； \n\n(2) 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2^{x}-1}$ 是一个中心对... | [
"（1） $f(0)=-2$ ， $f(1)=2$",
"(2) $(0, -\\frac{1}{2})$",
"(3) [-4, -1]"
] | [解答] 解：由于 f(x) 满足对于 $\forall x\in D$，有 $f(2m-x)+f(x)=2n$，则称函数 f(x) 为中心对称函数，其中 (m,n) 是函数 f(x) 的对称中心。 \n\n(1) 首先，由当 x>1 时，f(x)=x(x+1)，得 f(2)=2×(2+1)=6。由于函数 f(x) 的图像关于点 (1,2) 中心对称，有 f(2-x)+f(x)=4。令 x=1，则 2f(1)=4，所以 f(1)=2。 \n\n令 x=0，则 f(2)+f(0)=4，所以 f(0)=4-f(2)=4-6=-2。 (2) 令 $2^{x}-1\neq0$，解得 x≠0，所以 f(x) 的定义域为 $(-\infty,0... | 函数恒成立问题；奇偶函数图像的对称性；奇偶性与单调性的综合 | [
"complex_layout"
] | |
zh_2603_math_0036 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 19. 已知集合 $A=\{1, 2, \cdots, n-1\}$，集合 $\mathbb{B}_{m}=\left\{\mathbf{x}\left|\frac{\mathbf{x}^{2}-\mathbf{m}}{\mathbf{n}}\in\mathbb{Z},\mathbf{x},\mathbf{m}\in A\right.\right\}$，且 $|B_{m}|$ 表示集合 $B_{m}$ 中元素的个数。\n\n(1) 若 n=5，求 $B_{1}$ 和 $B_{2}$；(2) 若 n=97。 ① 求 $|B_{m}|$ 的最大值；② 证明：$|B_{1}|+|B_{2}|+\cdots+|B_{n-1}|\geq96.... | [
"（1） $B_{1}=\\{1，4\\},B_{2}=\\varnothing$",
"（2）①2；②证明见解答."
] | 解：(1) $\mathbf{B}_{1}=\{\mathbf{x}|\frac{x^{2}-1}{5}\in\mathbb{Z},\ \mathbf{x},m\in A\}=\{1,4\},B_{2}=\varnothing;$ (2) ① $|B_{m}|$ 的最大值为 2，证明如下：$\frac{1^{2}-1}{97}=0\in\mathbb{Z},\frac{96^{2}-1}{97}=\frac{97\times95}{97}=95\in\mathbb{Z}$，则 1, 96 $\in B_{1}$，即存在非空集合 $B_{m}$。取非空集合 $B_{m}$，且 $x_{0}\in B$，(i) $\frac{x_{0}... | 数列求和。 | [] | |
zh_2603_math_0037 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 1. 与 $-2025^{\circ}$ 终边相同的角是 ( )
A. $25^{\circ}$ B. $113^{\circ}$ C. $135^{\circ}$ D. $225^{\circ}$ | [
"C"
] | [分析] 利用终边相同的角的概念，找出与 $-2025^{\circ}$ 终边相同且在 $0^{\circ}\sim360^{\circ}$ 范围内的角。
解：由于 $-2025^{\circ}=135^{\circ}-360^{\circ}\times6$，与 $-2025^{\circ}$ 终边相同的角是 $135^{\circ}$。故选 C。 | 终边相同的角 | [
"complex_layout"
] | |
zh_2603_math_0038 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $cos(\frac{9\pi}{2}-\alpha)=\frac{7}{8}$，则 $sin(3\pi+\alpha)=$()
A. $-\frac{7}{8}$ B. $\frac{7}{8}$ C. $-\frac{\sqrt{15}}{8}$ D. $\frac{\sqrt{15}}{8}$ | [
"A"
] | [解析] 解：因为 $cos(\frac{9\pi}{2}-\alpha)=cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin\alpha=\frac{7}{8}$，所以 $sin(3\pi+\alpha)=-sin\alpha=-\frac{7}{8}$。故选：A。 | 利用诱导公式进行化简与求值 | [] | |
zh_2603_math_0039 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知tanα=2，则$\frac{4\sinα-2\cosα}{5\sinα+3\cosα}$的值为（）\n\nA. $-\frac{10}{7}$ B. $\frac{10}{7}$ C. $-\frac{6}{13}$ D. $\frac{6}{13}$ | [
"D"
] | 【解答】解：由题意，将$\frac{4\sin\alpha-2\cos\alpha}{5\sin\alpha+3\cos\alpha}$变形，代入$\tan\alpha=2$，得$\frac{4\sin\alpha-2\cos\alpha}{5\sin\alpha+3\cos\alpha}=\frac{4\tan\alpha-2}{5\tan\alpha+3}=\frac{8-2}{10+3}=\frac{6}{13}$。故选：D。 | 同角三角函数的基本关系 | [
"complex_layout"
] | |
zh_2603_math_0040 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 折扇与书画的结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值。图片展示了一把书法折扇的一部分，则扇面的面积为（）
A．1000cm^{2} B．900cm^{2} C．800cm^{2} D．700cm^{2} | [
"B"
] | 【解析】解：如图所示，
延长$AD$与$BC$交于点$O$，
设扇形半径$OA=r$，圆心角$\angle AOB=\alpha$，则$\begin{cases}60=\alpha r \\30=\alpha (r-20)\end{cases}$，解得$\alpha=1.5$，$r=40$，
所以扇面的面积为$\frac{1}{2} \times 40 \times 60-\frac{1}{2} \times 30 \times (40-20)=900 c m^{2}$。
因此，选：B。 | 扇形面积公式 | [
"rigorous_process"
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zh_2603_math_0041 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 5. 若 $a=\sin35^{\circ}$, $b=\cos55^{\circ}$, $c=\tan48^{\circ}$，则 ( ) \n\nA. $c<b<a$ B. $b<a<c$ C. $b<c<a$ D. $a<b<c$ | [
"D"
] | [解析] 根据题意，$a=\sin33^{\circ}$，$b=\cos55^{\circ}$，$c=\tan48^{\circ}$。利用诱导公式，$b=\cos55^{\circ}=\sin35^{\circ}$。函数 $y=\sin x$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上单调递增；因此 $\sin33^{\circ}<\sin35^{\circ}=\cos55^{\circ}<1$。函数 $y=\tan x$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上单调递增，所以 $\tan48^{\circ}>\tan45^{\circ}=1$。因此 $a<b<c$。故选 D。 | 正弦函数的单调性；正切函数的单调性与周期性 | [
"complex_layout"
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zh_2603_math_0042 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 函数 $f(x)=\left(1-\frac{2}{1+e^{x}}\right) \sin x$ 的图像大致形状为（ ）\\n\n | [
"A"
] | 【分析】判断函数的奇偶性，结合对称性和极限思想进行判断。\\n\n解：$f(x)=\frac{1+e^{x}-2}{1+e^{x}}\cdot\sin x=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\cdot\sin x$ ，\\n则 $f(-x)=\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\cdot\sin(-x)=\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}(-\sin x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\cdot\sin x=f(x)$ ，\\n所以函数 $f(x)$ 是偶函数，其图像关于y轴对称，排除C和D。\\n当x>0且x→0时，$f(x)>0$，排除B。\\n故选：A。 | 函数的图像及其变换 | [] | |
zh_2603_math_0043 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $\frac{\cos2\theta}{\cos(\theta-\frac{\pi}{4})}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $\sin2\theta$=() \n\nA. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{3}{4}$ C. $\frac{5}{4}$ D. $\frac{3}{2}$ | [
"B"
] | 【解】解：因为 $\frac{\cos2\theta}{\cos(\theta-\frac{\pi}{4})}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， \n所以 $\frac{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}{\cos\theta\cos\frac{\pi}{4}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$， \n所以 $\frac{(\cos\theta-\sin\theta)(\cos\theta+\sin\theta)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\theta+\sin\theta)}$=$\frac{\sqrt{2}}... | 求二倍角三角函数值 | [] | |
zh_2603_math_0044 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 若点 $P_{k}$ 的坐标为 $(\sin\frac{1-k}{12}\pi,\sin\frac{5+k}{12}\pi)$，始边为 x 轴的非负半轴，终边为射线 $OP_{k}$，对应的角为 $\theta_{k}$（$O$ 为原点），则 $\cos\theta_{1}+\cos\theta_{2}+\cos\theta_{3}+\cdots+\cos\theta_{25}=$() \n\nA. $-1$ B. $0$ C. $1$ D. $2$ | [
"B"
] | [解析] 解：点 $P_{k}$ 的坐标为 $(\sin \frac{1-k}{12} \pi$, $\sin \frac{5+k}{12} \pi)$。利用三角恒等式 $\sin \alpha=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$，可得： \n$\sin \frac{1-k}{12} \pi=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{1-k}{12} \pi\right)=\cos \frac{5+k}{12} \pi$， \n所以点 $P_{k}$ 的坐标可表示为 $(\cos \frac{5+k}{12} \pi$, $\sin \frac{5+k}{12} \pi... | 任意角三角函数的定义 | [] | |
zh_2603_math_0045 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）9. 下列命题中正确的是( ) \n\nA．小于90°的角是锐角 B．若角α与角β的终边相同，则α=β C．钝角是第二象限角 D．经过4小时，时针旋转了-120° | [
"CD"
] | 【分析】根据角的定义，对各选项逐一分析即可。\n\n解：小于90°的角还包括零角和负角；锐角是大于0°且小于90°的角，故A错误；\n若$\alpha=90^{\circ}$，$\beta=90^{\circ}+360^{\circ}=450^{\circ}$，则角α与角β的终边相同，但$\alpha\neq\beta$，故B错误；\n因为大于90°且小于180°的角是钝角，钝角的终边在第二象限，所以钝角是第二象限角，故C正确；\n经过4小时，时针旋转了$-\frac{4}{12}\times360^{\circ}=-120^{\circ}$，故D正确。\n故选：CD。 | 终边相同的角；象限角与轴线角；任意角的概念 | [] | |
zh_2603_math_0046 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （选择题）10. 已知函数 $f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{6})$，则（ ）\n\nA. $\frac{\pi}{2}$ 是 $f(x)$ 的一个周期\n\nB. $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}$，$k\in\mathbb{Z}$ 对称\n\nC. $x=\frac{\pi}{3}$ 是 $f(x)$ 的一个零点\n\nD. $f(x)$ 在区间 $[-\frac{7\pi}{12},-\frac{\pi}{12}]$ 上单调递增 | [
"BD"
] | 【解】解：函数 $f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{6})$，$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，所以 $\frac{\pi}{2}$ 不是 $f(x)$ 的一个周期，A 不正确；\n令 $2x+\frac{\pi}{6}=k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，解得 $x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}$，$k\in\mathbb{Z}$，\n则 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}$，$k\in\mathbb{Z}$ 对称，B 正确；\n因为 $f(\frac{\pi}{3})=\cos(2\times\frac{... | 余弦函数的单调性；三角函数的周期性；余弦函数的图像 | [] | |
zh_2603_math_0047 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）11. 已知偶函数 $f(x)$ 定义在 $\mathbf{R}$ 上，且 $f(x)+f(-x-2)=-2$，$f(0)=1$，则下列说法正确的是（ ） \n\nA. $f(x)=f(x+4)$ \n\nB. 函数 $f(x)$ 的图像关于直线 x=2 对称 \n\nC. $f(3)=1$ \n\nD. $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(20)=-20$ | [
"ABD"
] | 【解答】解：因为 $f(x)$ 是偶函数，且 $f(x)+f(-x-2)=-2$，所以 $f(x)+f(x-2)=-2$，即 $f(x)=-f(x-2)-2$， \n则 $f(x+4)=-f(x+2)-2=-(-f(x)-2)-2=f(x)$，周期为4，故 A 正确； \n因为 $f(x)$ 是偶函数，$f(-x)=f(x)=f(x+4)$，即函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称，故 B 正确； \n因为 $f(1)+f(3)=-2$，且函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称， \n所以 $f(1)=f(3)=-1$，$f(0)=f(4)=1$，$f(2)+f(0)=-2$，$f(2)=-3$，故 C ... | 抽象函数的周期性；函数的奇偶性 | [] | |
zh_2603_math_0048 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 12. 角 $\frac{\pi}{4}+\alpha$ 和 $\frac{\pi}{4}-\alpha$ 的终边分别与单位圆交于点 $A$ 和 $B$，则 $A$ 与 $B$ 的位置关系是__________。 | [
"关于直线 $y=x$ 对称．"
] | [解] 设点 $A$ 的坐标为 $(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha),\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha))$，点 $B$ 的坐标为 $(\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha),\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha))$。则 $\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}+\alpha)]=\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)$，$\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\cos[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}+\alpha)]=\cos(... | 任意角的三角函数定义 | [] | |
zh_2603_math_0049 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知 $2\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha$，则 $\cos(2\alpha+\frac{\pi}{6})=$____________________。 | [
"-\\frac{\\sqrt{3}}{6}."
] | 【解】解：因为 $2\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha$，所以 $1+\cos2\alpha-\frac{1-\cos2\alpha}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\alpha$，即 $\frac{3}{2}\cos2\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\alpha=-\frac{1}{2}$，所以 $\cos(2\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2\alpha-\frac{1}{2}\sin2\alpha=\frac{1}{2\sqrt{3}}=-\... | 二倍角三角函数；同角三角函数的基本关系 | [] | |
zh_2603_math_0050 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知函数 $f(x)=2\sin(2\omega x-\frac{\pi}{6})+1$，$\omega>0$ 在 $(0,\pi)$ 上恰有两个零点，则 $\omega$ 的取值范围是________________。 | [
"(1,\\frac{5}{3}]."
] | 【解】解：令 $2\sin(2\omega x-\frac{\pi}{6})+1=0$，
解得 $\sin(2\omega x-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$，
由于 $0<x<\pi$，可得 $-\frac{\pi}{6}<2\omega x-\frac{\pi}{6}<2\omega\pi-\frac{\pi}{6}$，
因为 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上恰有两个零点，
所以 $\frac{11\pi}{6}<2\omega\pi-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{19\pi}{6}$，解得 $1<\omega\leqslant\frac{5}{3}$。
因此 $\om... | 正弦函数的图像 | [] | |
zh_2603_math_0051 | 2603 | math | 解答题 | 13 | 15. 化简并求值：
(1) $\tan20^{\circ}+4\sin20^{\circ}$;
(2) $\frac{\sqrt{3}\tan10^{\circ}+1}{(2\cos^{2}10^{\circ}-1)\sin10^{\circ}}$. | [
"(1) $\\sqrt{3}$",
"(2) 8"
] | 解：(1) tan20°+4sin20°=$\frac{sin20°}{cos20°}$+4sin20°=$\frac{sin20°+4sin20°cos20°}{cos20°}$
=$\frac{sin20°+2sin40°}{cos20°}$=$\frac{sin20°+2sin(60°-20°)}{cos20°}$
=$\frac{sin20°+\sqrt{3}cos20°-sin20°}{cos20°}$=$\sqrt{3}$;
(2) $\frac{\sqrt{3}tan10°+1}{(2cos^{2}10°-1)sin10°}$=$\frac{\sqrt{3}sin10°+cos10°}{cos20°sin10°}... | 两角和与差的三角函数值的求解 | [] | |
zh_2603_math_0052 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 已知函数 $f(x)=2\sin x+1$。 \n\n(1) 请用“五点法”画出函数 $f(x)$ 在 $[\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{2}]$ 上的图像（先列表，再画图）； \n\n(2) 求 $y=f(2x+\frac{\pi}{3})\geqslant2$ 的解集。\n\n | [
"（1）列表如下： \\n\\n<table><thead><tr><td>x</td><td>π/6</td><td>π/2</td><td>π</td><td>3π/2</td></tr></thead><tbody><tr><td>sinx</td><td>1/2</td><td>1</td><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>2sinx+1</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>-1</td></tr></tbody></table>\\n\\n在平面直角坐标系中描点，再连线，得$f(x)$在$[\\frac{\\pi}{6}，\\frac{3\... | 【解】解：（1）列表如下： \n\n<table><thead><tr><td>x</td><td>π/6</td><td>π/2</td><td>π</td><td>3π/2</td></tr></thead><tbody><tr><td>sinx</td><td>1/2</td><td>1</td><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>2sinx+1</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>-1</td></tr></tbody></table> \n\n在直角坐标系中描点，连线得到 $f(x)$ 在 $[\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{2}]... | 五点法画函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像 | [] | |
zh_2603_math_0053 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 在三角形ABC中，BC=3，AD是BC边上的高，垂足D在线段BC上，且BD=2DC。已知三角形ABC的面积为3。
(1) 求 $\sin C$；
(2) 求 $\frac{\sin(\pi+B)\tan(\pi-B)}{\cos(\frac{\pi}{2}+B)\sin(\frac{\pi}{2}-B)}$ 的值；
(3) 求 $\sin 2A+\cos 2A-\tan 2A$ 的值。 | [
"（1） $\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$",
"（2） $\\sqrt{2}$",
"（3） $\\frac{11}{20}$"
] | 解：(1) 如图所示，因为BC=3，AD是BC边上的高，所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times3AD=3$，解得AD=2。
由于 $BD=2DC$，则 $BD=2$，$CD=1$，于是 $\overline{AC}=\sqrt{\overline{AD}^2+\overline{DC}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。在直角三角形ACD中，$\sin C=\frac{... | 三角形中的几何计算；利用诱导公式进行化简求值 | [
"rigorous_process"
] | |
zh_2603_math_0054 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 已知函数 $f(x)=2\sin^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cdot\cos x-1$。\n\n(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间；\n\n(2) 若 $g(x)=2f(x+a)(|a|<\frac{\pi}{2})$ 且 $g(0)=2$，求 $g(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi}{3},\pi]$ 上的最小值。 | [
"（1） $[k\\pi-\\frac{\\pi}{6},k\\pi+\\frac{\\pi}{3}]$ ， $k\\in\\mathbb{Z}$",
"（2） -4"
] | 解：(1) 由已知条件，$f(x)=2\times\frac{1-\cos2x}{2}+\sqrt{3}\sin2x-1=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})$。令 $2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，解得 $k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac{\pi}{3}$，$k\in\mathbb{Z}$。因此，$f(x)$ 的单调递增区间为 $[k\pi-\frac{\pi}{6... | 三角恒等式的应用；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性 | [] | |
zh_2603_math_0055 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 人脸识别技术正深刻改变各行各业人们的生活。所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或图像，从中提取有效的识别信息，最终识别出目标身份。在人脸识别中，主要利用距离来测试样本之间的相似度。常用的距离有曼哈顿距离和余弦距离。对于二维空间中的两个点 $A(x_{1},y_{1})$ 和 $B(x_{2},y_{2})$，$A$ 与 $B$ 的曼哈顿距离为：$d(A,B)=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$。$A$ 与 $B$ 的余弦距离为 $1-\cos(A,B)$，其中 $\cos(A,B)=\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\times\frac{x_{2}}{\sqr... | [
"（1）曼哈顿距离为2，其余弦距离为 $\\frac{1}{5}$",
"(2) ①$\\frac{9}{65}$",
"②$\\frac{222}{325}$"
] | 【解】解：(1) $d(A,B)=|2-1|+|-1-(-2)|=2$，1-cos(A,B)=1-($\frac{2}{\sqrt{5}}\times\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{-1}{\sqrt{5}}\times\frac{-2}{\sqrt{5}}$)=$\frac{1}{5}$，所以 A 与 B 的曼哈顿距离为 2，余弦距离为 $\frac{1}{5}$。 \n\n(2) ① 由已知得 $\cos (M, N)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=\cos (\alpha-\beta)=\frac{12}{13}$，因为 $0<\alpha<\be... | 三角函数的和差公式 | [] | |
zh_2603_math_0056 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 1. 已知集合 $A=\{−2, 1, 2, 3\}$，$B=\{x|x=2k, k\in\mathbb{Z}\}$，则 $A\cap B=$ ( ) \n\nA. {－2, 1} B. {－2, 2} C. {1, 2} D. {2, 3} \n | [
"B"
] | 【解】解：集合 $A=\{−2,1,2,3\}$，$B=\{x|x=2k,k\in\mathbf{Z}\}$，则 $A\cap B=\{−2,2\}.$ 故选：B. \n | 交集及其运算 | [] | |
zh_2603_math_0057 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 2. 已知命题 $p$：$\exists x\in\mathbb{N},x^{2}-2x+3>0$，则命题 $p$ 的否定是（ ）\n\nA. $\forall x\in\mathbb{N}$, $x^{2}-2x+3\leq0$\n\nB. $\forall x\in\mathbb{N}$, $x^{2}-2x+3>0$\n\nC. $\exists x\in\mathbb{N}$, $x^{2}-2x+3\leq0$\n\nD. $\exists x\in\mathbb{N}$, $x^{2}-2x+3>0$ \n | [
"A"
] | 【解答】解：命题 $p$：$\exists x\in\mathbf{N}$, $x^{2}-2x+3>0$，则命题 $p$ 的否定是“$\forall x\in\mathbf{N}$, $x^{2}-2x+3\leq0.$”故选：A. \n | 求存在量词命题的否定 | [] | |
zh_2603_math_0058 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为$\mathbb{R}$的是（ ）\n\nA. $y=2^{x}$ B. $y=(x-1)^{3}$ C. $y=x+\frac{1}{x}$ D. $y=|\ln x|$\n | [
"B"
] | 【解】解：对于A，函数$y=2^{x}$在其定义域$\mathbf{R}$上是增函数，但值域为$(0,+\infty)$，不满足条件；对于B，函数$y=(x-1)^{3}$在其定义域$\mathbf{R}$上是增函数，且值域为$\mathbf{R}$，满足条件；对于C，函数$y=x+\frac{1}{x}$是对勾函数，在其定义域$(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$上不是增函数，不满足条件；对于D，函数$y=|\ln x|$在其定义域$(0,+\infty)$上不是增函数，不满足条件。故选：B。\n | 利用函数的单调性求解函数或参数；函数的值域 | [] | |
zh_2603_math_0059 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $x_{0}$ 是函数 $f(x)=e^{x}+x^{3}$ 的一个零点，且 $a\in(-\infty,x_{0})$，$b\in(x_{0},0)$，则 ()\\nA. $f(a)<0$，$f(b)<0$ B. $f(a)>0$，$f(b)>0$ C. $f(a)>0$，$f(b)<0$ D. $f(a)<0$，$f(b)>0$ \\n | [
"D"
] | [解析] 解：因为 $y=e^{x}$ 和 $y=x^{3}$ 在 $\mathbf{R}$ 上都是增函数，所以 $f(x)=e^{x}+x^{3}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数。又 $x_{0}$ 是函数 $f(x)=e^{x}+x^{3}$ 的一个零点，$a\in(-\infty,x_{0})$，$b\in(x_{0},0)$，因此 $f(a)<0$，$f(b)>0$。故选 D。\n | 函数零点判定定理 | [] | |
zh_2603_math_0060 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $a>0$, $b>0$，则“$a+b\leq2$”是“$ab\leq1$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 | [
"A"
] | 【解析】解：$a>0$, $b>0$，“$a+b\leq2$”，$\Rightarrow2\geq a+b\geq2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\leq1$，所以“$ab\leq1$”成立。当 $a=10$, $b=0.1$ 时，$ab\leq1$，但 $a+b\leq2$ 不成立。即前者能推出后者，但后者不能推出前者。因此，对于 $a>0$, $b>0$，“$a+b\leq2$”是“$ab\leq1$”的充分不必要条件。故选 A。 | 充分不必要条件的判断 | [] | |
zh_2603_math_0061 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)=2\sin(\omega x+\varphi)(\omega>0,-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2})$ 的部分图象如图所示，则 () \n\n \n\nA. $\omega=1$, $\varphi=-\frac{\pi}{4}$ B. $\omega=1$, $\varphi=\frac{\pi}{4}$ C. $\omega=2$, $\varphi=-\frac{\pi}{4}$ D. $\omega=2$,... | [
"B"
] | [解析] 由题意，$\frac{1}{2}T=\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}$，即 $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi$，所以 $\omega=1$，因此 $f(x)=2\sin(x+\varphi)$。 \n\n又 $f(\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{4}\pi)=f(\frac{5\pi}{4})=2\sin(\frac{5\pi}{4}+\varphi)=-2$，所以 $\frac{5\pi}{4}+\varphi=2k\pi+\frac{3\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，解得 $\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{4}$，$k... | 由 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的部分图象确定其解析式 | [] | |
zh_2603_math_0062 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 新闻推送涉及信息检索。若关键词 $w$ 出现在 $D_w$ 个网页中，则 $D_w$ 越大，$w$ 的权重越小；反之亦然。在信息检索中，最常用的权重是“逆文档频率指数 $I_w$”，其中 $I_w=\lg(\frac{D}{D_w})$，$D$ 为网页总数，$D>0$，$D_w>0$。若关键词 $a$ 的逆文档频率指数 $I_a$ 比关键词 $b$ 的逆文档频率指数 $I_b$ 大 2，则 ()\\n\\nA. $D_{b}=2D_{a}$ B. $D_{b}=10D_{a}$ C. $D_{b}=20D_{a}$ D. $D_{b}=100D_{a}$ \\n | [
"D"
] | 【解】解：关键词 $a$ 的逆文档频率指数 $I_{a}$ 比关键词 $b$ 的逆文档频率指数 $I_{b}$ 大 2，所以 $I_{a}-I_{b}=2$，即 $\lg(\frac{D}{D_{a}})-\lg(\frac{D}{D_{b}})=2$，因此 $\lg(\frac{D_{b}}{D_{a}})=2$，所以 $\frac{D_{b}}{D_{a}}=10^{2}=100$，即 $D_{b}=100D_{a}$。故选 D。\\n | 对数运算的求值 | [] | |
zh_2603_math_0063 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 8. 函数 $f(x)=|sinx|+cosx$ 是（ ）
A. 最小值为 $-\sqrt{2}$ 的奇函数
B. 最大值为 $\sqrt{2}$ 的奇函数
C. 最小值为 $-\sqrt{2}$ 的偶函数
D. 最大值为 $\sqrt{2}$ 的偶函数
| [
"D"
] | 解：$\because f(x)=|\sin x|+\cos x$ , $\therefore f(-x)=|\sin(-x)|+\cos(-x)=|\sin x|+\cos x=f(x)$ , $\therefore f(x)$ 是偶函数，排除 $A$ 和 $B$ ; $\therefore f(2\pi+x)=|\sin(x+2\pi)|+\cos(x+2\pi)=|\sin x|+\cos x=f(x)$ , $\therefore$ 当 $x\in[0,\pi]$ 时，$x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$ , $\sin(x+\frac{\pi}{4})\in[... | 三角函数的最大值和最小值；函数的奇偶性 | [] | |
zh_2603_math_0064 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 9. 已知点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 是函数 $y=\ln x$ 图像上的两个不同点，则 ( )
A. $e^{y_1+y_2}>\frac{x_1+x_2}{2}$
B. $e^{y_1+x_2}<\frac{x_1+x_2}{2}$
C. $e^{y_1+y_2}>\frac{x_1^2+x_2^2}{2}$
D. $e^{y_1+y_2}<\frac{x_1^2+x_2^2}{2}$
| [
"D"
] | 解：设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$AB$ 的中点为 $M(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$。设点 $N$ 在 $y=\ln x$ 的图像上，且 $MN∥x$ 轴，则 $N(e^{\frac{y_{1}+y_{2}}{2}},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$。
由图可知，$N$ 在 $M$ 的左侧，即 $\mathrm{e}^{\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}<\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，
$\therefore \mathrm{e}^{y_{1}+y_{2}}<\frac{(x_{1... | 对数函数的图像特征与底数的关系；利用基本不等式比较大小 | [] | |
zh_2603_math_0065 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 函数 $f(x)=\ln(1+x)+\sqrt{4-x}$ 的定义域为 ________。 \n | [
"（-1，4］"
] | 【解】解：要使原函数有意义，需满足 $\left\{\begin{array}{l}1+x>0\\4-x≥0\end{array}\right.$，解得 -1<x≤4。因此函数 f(x)=ln(1+x)+$\sqrt{4-x}$ 的定义域为 (-1,4]。故答案为：(-1,4]。 \n | 求对数型复合函数的定义域 | [] | |
zh_2603_math_0066 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 如果$x>1$，则$x+\frac{1}{x-1}$的最小值为____。 \n | [
"3"
] | 解：$\because x>1,$ $\therefore x+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+1\geqslant2\sqrt{(x-1)\cdot\frac{1}{x-1}+1}=3,$ 当且仅当$x-1=\frac{1}{x-1}$，即$x=2$时取等号，$\therefore$ 当$x=2$时，$x+\frac{1}{x-1}$取得最小值3，故答案为：3。 \n | 基本不等式及其应用 | [] | |
zh_2603_math_0067 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 在直角坐标系 xOy 中，角 α 和角 β 均以 Ox 为始边。若角 α 的终边经过点 P($-\frac{4}{5}$, $\frac{3}{5}$)，且角 β 的终边与角 α 的终边关于原点对称，则 $\sinα=$_____________________, $\cosβ=$_____________________。 \n | [
"$\\frac{3}{5}$",
"$\\frac{4}{5}$"
] | 【解】解：角 α 的终边经过点 P(-$\frac{4}{5}$, $\frac{3}{5}$)，则 sinα=$\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{{(-\frac{4}{5})}^{2}+{{\frac{3}{5}}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，同理，cosα=-$\frac{4}{5}$，角 β 的终边与角 α 的终边关于原点对称，则 β=α+π+2kπ，k∈Z，cosβ=cos(α+π+2kπ)=-cosα=$\frac{4}{5}$。故答案为：$\frac{3}{5}$ ；$\frac{4}{5}$。 \n | 任意角的三角函数定义 | [] | |
zh_2603_math_0068 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 将函数 $f(x)=\sin 2x$ 的图像向左平移 $\varphi$ （$\varphi>0$）个单位，得到函数 $g(x)$ 的图像。若函数 $g(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，则 $\varphi$ 的一个可能值为 __________。 | [
"$\\frac{\\pi}{4}$"
] | [解答] 解：将函数 $f(x)=\sin2x$ 的图像向左平移 $\varphi$ （$\varphi>0$）个单位，得到函数 $g(x)=\sin(2x+2\varphi)$ 的图像。若函数 $g(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，则 $2\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}$ （$k\in\mathbb{Z}$），解得 $\varphi=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$ （$k\in\mathbb{Z}$）。由于 $\varphi>0$，当 $k=0$ 时，$\varphi=\frac{\pi}{4}$。因此，答案为：$\frac{\pi}{4}$（答案不唯一）。 | 函数 $y=A\sin(\omegax+\varphi)$ 的图像变换 | [] | |
zh_2603_math_0069 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 15. 给定以下五个函数：$y=x$，$y=\frac{1}{x}$，$y=x^{2}$，$y=\ln x$，$y=e^{x}$，从中选择两个函数，分别记为 $f(x)$ 和 $g(x)$。若 $F(x)=f(x)+g(x)$ 的图像如图所示，则 $F(x)=$________。 \n\n \n | [
"$x^{2}+\\frac{1}{x}$"
] | 【解】由题意，因为 $F(x)$ 的定义域为 $\{x|x\neq0\}$，则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 中一定不含 $y=\ln x$，一定含函数 $y=\frac{1}{x}$。令 $f(x)=\frac{1}{x}$。当 $g(x)=x$ 时，$F(x)=x+\frac{1}{x}$，为奇函数，与图像不符。当 $g(x)=e^{x}$ 时，$F(x)=e^{x}+\frac{1}{x}$。当 $x\rightarrow-\infty$ 时，$F(x)<0$，与图像不符。当 $g(x)=x^{2}$ 时，$F(x)=x^{2}+\frac{1}{x}$。当 $x<-1$ 时，$F(x)=\frac{x^{3}+1}{x}<... | 函数的图像与图像变换；对数函数的图像 | [
"long_reason"
] | |
zh_2603_math_0070 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x, & x\geqslant a, \\ 2^{x}+a, & x<a. \end{cases}$ 有以下四个结论： \n\n①当 $a=1$ 时，$f(x)$ 只有一个零点； \n\n②对于任意 $a>3$，$f(x)$ 既无最大值也无最小值； \n\n③存在实数 $a$，使得 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增； \n\n④若 $f(x)$ 有最小值，则 $a$ 的最小值为 -1。 \n\n所有正确结论的序号是 ________。 \n | [
"①②④"
] | 解：对于①，当 a=1 时，f(x)=\begin{cases} x^{2}-2x, x\geqslant a \\ 2^{x}+a, x< a \end{cases}。当 x≥1 时，令 f(x)=0，即 $x^{2}-2x=0$，解得 x=0（舍去）或 x=2；当 x<1 时，令 f(x)=0，即 $2^{x}+1=0$，方程无解。因此当 a=1 时，f(x) 只有一个零点，故①正确。对于②，当 a>3 时，由于 $y=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$ 在 $[a,+\infty)$ 上严格递增，有 $x^{2}-2x\in[a^{2}-2a,+\infty)$，所以 f(x) 无最大值；又因为 $y=2^{x}+a$... | 分段函数的应用 | [] | |
zh_2603_math_0071 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 17. 已知集合 $A=\{x|x^{2}+4x-5>0\}$, $B=\{x|\ (x-a)(x-1)\leq0\}$.
(1) 当 a=3 时，求集合 $A\cap B$ 和 $(\complement_{\mathbb{R}}A)\cup B$；
(2) 若 $A\cup B=R$，求实数 $a$ 的取值范围。
| [
"$A\\cap B=\\{x\\mid1<x\\leqslant3\\}$",
"$\\left(\\complement_{\\mathbb{R}}A\\right)\\cup B=\\{x\\mid-5\\leqslant x\\leqslant3\\}$",
"$\\{a\\vert a\\leqslant-5\\}$"
] | 解：(1) $A=\{x|x^{2}+4x-5>0\}=\{x|x<-5$ 或 $x>1\}$，$\complement_{\mathbf{R}}A=\{x|-5\leqslant x\leqslant1\}$。当 $a=3$ 时，$B=\{x|(x-3)(x-1)\leqslant0\}=\{x|1\leqslant x\leqslant3\}$。
所以 $A\cap B=\{x|1<x\leq3\}$，$(\complement_{\mathbb{R}}A)\cup B=\{x|-5\leq x\leq3\}$；
(2) 若 $A\cup B=R$，则 $\complement_{\mathbb{R}}A\subsete... | 解一元二次不等式；集合包含关系的应用；集合的交、并、补混合运算 | [] | |
zh_2603_math_0072 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 已知函数 $f(x)=2\sin^{2}x+\cos(2x-\frac{\pi}{3})-1$。 \n\n(I) 求 $f(\frac{\pi}{6})$ 的值； \n\n(II) 若 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，求 $f(x)$ 的最大值和最小值； \n\n(III) 将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $m(m>0)$ 个单位长度，所得函数图象与函数 $y=\cos2x$ 的图象重合。求实数 $m$ 的最小值。 | [
"$\\frac{1}{2}$",
"$f(x)_{\\min}=f(0)=\\frac{1}{2}$",
"$f(x)_{\\max}=f(\\frac{\\pi}{3})=1$",
"$\\frac{\\pi}{3}$"
] | 解：(I) 函数 $f(x)=2\sin^{2}x+\cos(2x-\frac{\pi}{3})-1=\frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\cos2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})$。\n\n所以 $f(\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$。\n\n(II) 因为 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，\n\n所以 $2x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$，\n\n所以当 $x=0$ 时，$f(x)_{\min... | 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图象变换；三角函数的极值；三角恒等变换的应用 | [] | |
zh_2603_math_0073 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 已知函数$f(x)=a\sin\omega x\cos\omega x(a>0,\omega>0)$。从以下四个条件中选择两个作为已知，使得函数$f(x)$存在且唯一确定。\n\n条件①：$f(\frac{\pi}{4})=1$；\n\n条件②：$f(x)$是偶函数；\n\n条件③：$f(x)$的最大值为1；\n\n条件④：$f(x)$的图像的两条相邻对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。\n\n(1) 求$f(x)$的解析式；(2) 设$g(x)=f(x)-2\cos^{2}\omega x+1$，求函数$g(x)$在$(0,\pi)$上的单调递增区间。\n | [
"$f(x)=\\sin2x$",
"$[\\frac{7\\pi}{8}, \\pi)$ 和 $(0, \\frac{3\\pi}{8}]$"
] | 解：(1) $f(x)=a\sin\omega x\cos\omega x=\frac{1}{2}a\sin2\omega x$。当a≠0时，$f(x)$是奇函数，所以不能选择条件②。\n\n若选择①和③，即$f(x)=\frac{1}{2}a\sin2\omega x$的最大值为1，则$\frac{1}{2}a=1$，解得$a=2$，所以$f(x)=\sin2\omega x$，且$f(\frac{\pi}{4})=1$，所以$f(\frac{\pi}{4})=\sin(2\omega\times\frac{\pi}{4})=1$，即$\frac{\pi}{2}\omega=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\m... | 正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性与对称性；由$y=A\sin(\omega x+\varphi)$的部分图像确定解析式；正弦函数的图像 | [] | |
zh_2603_math_0074 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 已知函数 $f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(2^{x}+1)-mx$, $m\in\mathbb{R}$。 \n\n(1) 当 m=0 时，解不等式 $f(x) > -1$；(2) 若函数 $f(x)$ 是偶函数，求 m 的值；(3) 当 m=0 时，证明 $g(x)=2^{f(x)}$ 的单调性；(4) 当 m=-1 时，若函数 y=f(x) 的图像与直线 y=b 有公共点，求实数 b 的取值范围。 | [
"（-∞，0）",
"$-\\frac{1}{2}$",
"g（x）在R上单调递减",
"（-∞，0）"
] | 【解答】(1) 解：当 m=0 时，f(x)=log_{\frac{1}{2}}(2^x+1)，不等式 f(x) > -1，即 log_{\frac{1}{2}}(2^x+1) > log_{\frac{1}{2}}2。由于 y=log_{\frac{1}{2}}t 单调递减，可得 2^x+1 < 2，即 2^x < 1，解得 x < 0，解集为 (-∞, 0)。 \n\n(2) 解：若 $f(x)$ 是偶函数，则 $f(-x)=f(x)$。 \n\n$f(-x)=\log_{\frac{1}{2}}(2^{-x}+1)+mx$，所以 $\log_{\frac{1}{2}}(2^{-x}+1)+mx=\log_{\frac{1}{2... | 奇偶性与单调性的综合运用；奇函数与偶函数的性质 | [
"long_reason"
] | |
zh_2603_math_0075 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 21. 对于给定的正整数 $n$（$n\geqslant2$），设集合 $M=\{k\in\mathbb{Z}\mid-n\leqslant k\leqslant n\}$，$A$ 和 $B$ 是 $M$ 的非空子集，满足 $A\cup B=M$ 且 $A\cap B=\varnothing$。若对任意 $x\in A$，在集合 $B$ 中存在唯一确定的数 $y$ 使得 $x+y$ 为偶数，则记 $y=p(x)$，并称 $p\colon A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个“$P$ 函数”。 \n\n(Ⅰ) 当 $n=3$ 时，若集合 $A=\{-3,-1,1,3\}$，写出集合 $B$，并判断从集合 $A$ 到... | [
"B={−2，0，2}，不存在“P函数”",
"存在$x\\in A$,使得$p(x)=-x$",
"当n为奇数时，A={−n，−n+2，−n+4，…，−1，1，3，…，n−2}，或A={−n+1，−n+3，−n+5，…，0，2，…，n−3}，或A={−n，−n+1，−n+2，…，−1，0，1，…，n−4，n−3，n−2}． 当n为偶数时，A={−n+1，−n+3，−n+5，…，−1，1，3，…，n−3}，或A={−n，−n+2，−n+4，…，−2，0，2，…，n−4，n−2}，或A={−n，−n+1，−n+2，…，−1，0，1，…，n−4，n−3，n−2}．"
] | 【解】(Ⅰ) 解：$B=\{-2,0,2\}$。从集合 $A$ 到集合 $B$ 不存在“$P$ 函数”。理由如下：因为集合 $A$ 中的元素均为奇数，集合 $B$ 中的元素均为偶数，对任意 $x\in A$，$y\in B$，$x+y$ 为奇数，不满足条件。因此，从集合 $A$ 到集合 $B$ 不存在“$P$ 函数”。 \n\n(Ⅱ) 证明：假设不存在 $x\in A$ 使得 $p(x)=-x$，即对每一个 $x\in A$，$p(x)\neq -x$。由于 $p(x)$ 是 $B$ 中唯一确定的数使得 $x+p(x)$ 为偶数，可知 $-x\in A$。取 $a\in A$ 为奇数，则 $-a\in A$，设 $p(a)\in B... | 函数恒成立问题 | [] | |
zh_2603_math_0076 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知$z=2-a+(a-1)i(a\in\mathbb{R})$为实数，则$|a+i|=$()\n\nA. $1$\n\nB. $\sqrt{2}$\n\nC. $\sqrt{3}$\n\nD. $2$ \n | [
"B"
] | 解：因为$z=2-a+(a-1)i(a\in\mathbf{R})$为实数，所以$a-1=0$，即$a=1$，则$|a+i|=|1+i|=\sqrt{2}$。因此，选：B。 | 复数的模 | [] | |
zh_2603_math_0077 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知集合 $A=\{x|\log_{2}x<1\}$，$B=\{x||x|<2\}$，则 $A \cap (\complement_{\mathbb{R}} B)=$ ( )\n\nA. $\{x|0<x<2\}$ B. $\{x|0\leqslant x\leqslant 2\}$ C. $\{x|-2<x<2\}$ D. $\emptyset$ \n | [
"D"
] | 解：$A=\{x|\log_{2}x<1\}=\{x|0<x<2\}$，$B=\{x||x|<2\}=\{x|-2<x<2\}$，\n\n根据集合的补集运算，得 $C_{\mathbb{R}}B=\{x|x\leqslant-2$ 或 $x\geqslant2\}$。根据集合的交集运算，得 $A\cap(C_{\mathbb{R}}B)=\varnothing$。故选 D。 | 指数不等式和对数不等式的解法；集合的并集、交集、补集的混合运算 | [] | |
zh_2603_math_0078 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 不共线，且 $|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$，则 $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的投影向量为 ()
A. $2\overrightarrow{b}$
B. $\overrightarrow{b}$
C. $-2\overrightarrow{b}$
D. $-\overrightarrow{b}$ | [
"D"
] | 解：由 $|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$，得 $(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})^{2}=(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})^{2}$，即 $\overrightarrow{a}^{2}+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{b}^{2}=\overrightarrow{a}^{2}-4\overrightarrow{a}\cd... | 平面向量的投影向量 | [] | |
zh_2603_math_0079 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $a_{4}+a_{6}=26$，$S_{5}=35$，则 $a_{10}=$()
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
| [
"B"
] | 解：设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$。由 $a_{4}+a_{6}=26$ 和 $S_{5}=35$，
得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+3d+a_{1}+5d=26 \\ 5a_{1}+10d=35\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\ d=3\end{array}\right.$，所以 $a_{10}=a_{1}+9d=1+9\times3=28$。
故选：B。 | 求等差数列前 n 项和 | [] | |
zh_2603_math_0080 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，上顶点为B，且$|F_1F_2|$、$|BF_2|$、$|F_1F_2|+|BF_2|$依次成等比数列，则C的离心率为（）
A. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
| [
"B"
] | 解：设椭圆的半焦距为c，则$|F_{1}F_{2}|=2c$，$|BF_{2}|=a$，所以$2c$，$a$，$2c+a$依次成等比数列，即$a^{2}=2c\cdot(2c+a)$，得$a^{2}=4c^{2}+2ac$，从而$1=4(\frac{c}{a})^{2}+2(\frac{c}{a})$，即$4e^{2}+2e-1=0$，解得$e=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$，又因为$0<e<1$，所以C的离心率为$e=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$。故选：$B$。 | 求椭圆的离心率 | [] | |
zh_2603_math_0081 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)=(a+\frac{2}{2^x-1})\sin x$，若函数 $y=f(x)$ 的图像关于y轴对称，则 $a$ 的值为（） \n\nA. $-1$ B. $1$ C. $-2$ D. $2$ \n | [
"B"
] | 解：由于函数 $y=f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，所以函数 $y=f(x)$ 是偶函数。因为 $y=\sin x$ 是奇函数，所以函数 $g(x)=a+\frac{2}{2^{x}-1}$ 必须是奇函数。因此 $g(-x)=-g(x)$，即 $a+\frac{2}{2^{-x}-1}=-\left(a+\frac{2}{2^{x}-1}\right)$，所以 $2a=2$，解得 $a=1$。故选：B。 | 指数函数的图像 | [] | |
zh_2603_math_0082 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $\sin(A-B)=2\sin C$，a=$2\sqrt{2}$，则bc的最大值为（ ） \n\nA. $2\sqrt{2}$ B. $2\sqrt{3}$ C. 4 D. $4\sqrt{2}$ \n | [
"A"
] | 解：由 $\sin(A-B)=2\sin C$，得 $\sin A\cos B-\cos A\sin B=2\sin C$，则a· $\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$-b· $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ =2c，整理得 $a^{2}-b^{2}=2c^{2}$，因为a=2$\sqrt{2}$，所以 8=b^{2}+2c^{2}\geqslant2$\sqrt{2}$bc，故 bc≤≤2$\sqrt{2}$，当且仅当 b=$\sqrt{2}$c=2时取等号。故选：A。 | 解三角形 | [] | |
zh_2603_math_0083 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)=ax\ln x-x^{3}$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是 () \n\nA. $(\frac{1}{e},+\infty)$ B. $(\frac{3}{e},+\infty)$ C. $(\frac{4}{e},+\infty)$ D. $(\frac{6}{e},+\infty)$ \n | [
"D"
] | 解：函数 $f(x)=ax\ln x-x^{3}$ 的定义域为 $(0,+\infty)$。求导得 $f'(x)=a\left(\ln x+1\right)-3x^{2}$。函数 $f(x)$ 有两个极值点等价于 $f'(x)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不等的正根。显然，当 $\ln x+1=0$，即 $x=\frac{1}{e}$ 时，$f'(x)\neq0$，所以 $x=\frac{1}{e}$ 不是 $f'(x)=0$ 的根。则 $a(\ln x+1)=3x^{2}\Rightarrow a=\frac{3x^{2}}{\ln x+1}$。令 $g(x)=\frac{3x^{2}}{\ln x+1}$（$x... | 利用导数求解函数极值 | [] | |
zh_2603_math_0084 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）9. 函数 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)(A>0,\omega>0,0<\varphi<\pi)$ 在一个周期内的图像如图所示。下列说法正确的是？\n\nA. $f(0)=\sqrt{3}$\n\nB. 函数的解析式为 $f(x)=2\sin(\frac{2}{3}x+\frac{\pi}{6})$\n\nC. 将函数 $f(x)$ 的图像向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到一个奇函数\n\nD. 当 $x\in[-\pi,\frac{\pi}{2}]$ 时，函数 $f(x)$ 的值域为 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ \n | [
"AC"
] | 解：由已知信息，$f(x)$ 的最大值为 $A=2$，函数的周期为 $T=4(\pi-\frac{\pi}{4})=3\pi$，可得 $\omega=$ 由于 $f(\frac{\pi}{4})=2$ 是函数的最大值，所以 $\frac{2}{3}\times\frac{\pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbb{Z})$。结合 $0<\varphi<\pi$，得到 $\varphi=\frac{\pi}{3}$，因此 $f(x)=2\sin(\frac{2x}{3}+\frac{\pi}{3})$，这表明选项 B 错误；根据 $f(0)=2\sin\frac{\pi}{3}=\s... | 函数 $y=A\sin(\omegax+\varphi)$ 的图像变换；由 $y=A\sin(\omegax+\varphi)$ 的部分图像确定其解析式 | [] | |
zh_2603_math_0085 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （选择题）10. 若函数 $f(x)=x^{3}-3x+3$，则 （ ）\n\nA．$f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上单调递减 B．当 $x\in[0, 2]$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[3, 5]$ C．$f(x)$ 有一个零点 D．曲线 $y=f(x)$ 关于点 $(0, 3)$ 对称\n | [
"ACD"
] | 解：由题意得 $f'(x)=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$。对于选项 A，令 $f'(x)=3x^{2}-3<0$，解得 $-1<x<1$，所以 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上单调递减，故 A 正确；对于选项 B，当 $x\in[0, 1]$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，当 $x\in(1, 2]$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，且 $f(0)=3$，$f(1)=1$，$f(2)=5$，所以当 $x\in[0, 2]$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[1, 5]$，故 B 错误；对于选项 C，由于 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上单调递减，在 $(-\infty, ... | 利用导数求函数的单调性与单调区间；简单函数的值域；判断函数零点的存在性 | [] | |
zh_2603_math_0086 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （选择题）11：已知$F$为抛物线$C: y^{2}=4x$的焦点，且不经过原点的直线$l$与抛物线交于$A$、$B$两点，下列说法中正确的是（ ）\n\nA. 若直线$l$经过点$F$，则$|AB|$的最小值为2\n\nB. 若直线$l$经过点$F$，点$A$在第一象限，且$|AF|=4$，则直线$AB$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$\n\nC. 若$|AB|=6$，线段$AB$的中点为$M$，则点$M$到$y$轴距离的最小值为2\n\nD. 若直线$l$经过点$F$，则原点在以$AB$为直径的圆内 | [
"BCD"
] | 解：由于抛物线$C$的方程为$y^{2}=4x$，则$C$的焦点$F$为$F(1,0)$，准线为$x=-1$。对于A：由抛物线定义，有$|AF|=x_{1}+1$，$|BF|=x_{2}+1$，所以$|AB|=|AF|+|BF|=(x_{1}+x_{2})+2$。设$x=my+1$，联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\y^{2}=4x\end{array}\right.$，化简得$y^{2}-4my-4=0$。设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$y_{1}+y_{2}=4m$，故$x_{1}+x_{2}=m(y_{1}+y_{2})+2=4m^{2}+2$，于是$... | 直线与抛物线综合问题 | [] | |
zh_2603_math_0087 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知圆C: (x-1)^2+(y-2)^2=25，过点P(3,1)且所得弦长最短的直线方程为__________。 | [
"2x-y-5=0"
] | 解：由题意，圆C: (x-1)^2+(y-2)^2=25的圆心为C(1,2)，半径r=5。因为(3-1)^2+(1-2)^2<25，所以点P在圆C内。当且仅当弦所在直线垂直于CP时，弦长最短。由C(1,2)和P(3,1)可得直线CP的斜率为k_{CP}=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，因此最短弦所在直线的斜率为k=$\frac{-1}{k_{CP}}$=2，直线方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0。 | 圆内一点与弦及其最值；过定点的直线 | [] | |
zh_2603_math_0088 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知曲线 $y=e^{x}+1$ 在 $x=0$ 处的切线与曲线 $y=\ln(x+1)+a$ 也相切，则 $a=$ ______。 | [
"2"
] | 解：因为 $y=e^{x}+1$ 的导数为 $y^{\prime}=e^{x}$，当 x=0 时，y=2，$y^{\prime}=1$，所以曲线 $y=e^{x}+1$ 在 x=0 处的切线方程为 $y=x+2$。
因为 $y=\ln (x+1)+a$ 的导数为 $y^{\prime}=\frac{1}{x+1}$，设切线 $y=x+2$ 与曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 相切于点 $(t,\ln (t+1)+a)$，则 $\frac{1}{t+1}=1$，解得 $t=0$，所以切点为 $(0,a)$。因为该点在切线 $y=x+2$ 上，所以 $a=2$。 | 利用导数求曲线在某点处的切线方程 | [] | |
zh_2603_math_0089 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=PB=PC$，$AB=BC=4$，$AB \perp BC$，且三棱锥 $P-ABC$ 的体积为 $\frac{32}{3}$，则该三棱锥的外接球的表面积为 ________。 \n | [
"36π"
] | 解：因为在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=PB=PC$，$AB=BC=4$，$AB\bot BC$，所以 $AC=4\sqrt{2}$。取 $AC$ 的中点 $O_{1}$，则 $O_{1}$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆的圆心，$\triangle ABC$ 的外接圆的半径为 $\frac{AC}{2}=2\sqrt{2}$。连接 $PO_{1}$。因为 $PA=PC$，所以 $PO_{1}\perp AC$。又 $\begin{cases}PA=PB\\PO_{1}=PO_{1}\\O_{1}A=O_{1}B=2\sqrt{2}\end{cases}$，所以 $\triangle PO_{1}A\cong\t... | 球的表面积 | [] | |
zh_2603_math_0090 | 2603 | math | 解答题 | 13 | 近年来，某公司根据电影和动漫元素开发了一些豪华轿车模型玩具。现抽取部分儿童，调查其是否喜欢豪华轿车模型。所得数据汇总如下表。
<table> <tr> <td>性别</td> <td>男</td> <td>女</td> </tr> <tr> <td>喜欢豪华轿车模型</td> <td>340</td> <td>160</td> </tr> <tr> <td>不喜欢豪华轿车模型</td> <td>300</td> <td>200</td> </tr> <tr> </tr></table>
(1) 按性别分层，采用分层随机抽样从不喜欢豪华轿车模型的儿童中随机抽取10人。然后从这10人中随机抽取3人。求至少有一名女生的概率。
(2)... | [
"（1）\\frac{5}{6}",
"（2）不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性"
] | 解：(1) 按性别分层，采用分层随机抽样从不喜欢豪华轿车模型的儿童中随机抽取10人。然后从这10人中随机抽取3人。由于其中有6名男生和4名女生，则至少有一名女生的概率为 P=$1-\frac{C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
(2) 原假设：喜欢豪华轿车模型与性别相互独立。则 $\chi^{2}=\frac{1000\times(340\times200-300\times160)^{2}}{500\times500\times360\times640}\approx6.944<10.828$。因此，不能拒绝原假设。即在 $\alpha=0.001$ 的独立性检验... | 独立性检验 | [] | |
zh_2603_math_0091 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $2S_{n}=3a_{n}-2n-1$ ($n\in\mathbb{N}^{*}$)。
(1) 证明：$\{a_{n}+1\}$ 是等比数列；
(2) 设 $b_{n}=\frac{n(a_{n}+1)}{4}$，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$。 | [
"（1）$\\{a_{n}+1\\}$是以4为首项，3为公比的等比数列",
"（2）$T_{n}=\\frac{2n-1}{4}\\times3^{n}+\\frac{1}{4}$"
] | (1) 证明：因为 $2S_{n}=3a_{n}-2n-1\left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$，当 $n=1$ 时，$2a_{1}=3a_{1}-2-1$，解得 $a_{1}=3$；当 $n\geqslant2$ 时，$2S_{n-1}=3a_{n-1}-2n+1$，所以 $2\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=3\left(a_{n}-a_{n-1}\right)-2$，即 $a_{n}=3a_{n-1}+2$，于是 $a_{n}+1=3\left(a_{n-1}+1\right)\left(n\geqslant2\right)$，且 $a_{1}+1=4$。因此，数列 $\left\... | 数列求和；数列递推关系 | [] | |
zh_2603_math_0092 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过焦点且垂直于椭圆C长轴的弦长为1。\n\n(1) 求椭圆C的方程；\n\n(2) 已知过点F_{2}的直线l与椭圆C交于A、B两点，当△F_{1}AB的面积最大时，求直线l的方程。 | [
"（1）$\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$",
"（2）$x+\\sqrt{2}y-\\sqrt{3}=0$ or $x-\\sqrt{2}y-\\sqrt{3}=0$"
] | 解：(1) 设椭圆C的半焦距为c。因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以点(c, $\frac{1}{2}$)在椭圆C上，故$\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{1}{4b^{2}}=1$。又椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。同时$a^{2}=b^{2}+c^{2}$。解得b=1，a=2，c=$\sqrt{3}$。\n\n因此椭圆C的方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$。\n\n(2) 易知直线l不垂直于y轴。设直线l的方程为x=my+$\sqrt{3}$，A(x_{1}, y_{1})，B(x_{2}, ... | 直线与椭圆的综合应用；根据椭圆的几何性质求标准方程 | [] | |
zh_2603_math_0093 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 如图所示，在四棱锥 $S-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$SA=AD=2$，$AB=2\sqrt{2}$，$SC=4$，$M$ 为 $SB$ 的中点，$SA \perp$ 平面 $ABCD$。\n\n(1) 求证：$MC\bot BD$，\n\n(2) 若点 P 是棱 SC 上的动点，且直线 AP 与平面 AMC 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$，求 $\frac{SP}{SC}$ 的值。 | [
"（1）证明见解答",
"（2）\\frac{SP}{SC}=\\frac{1}{4}"
] | 解：(1) 证明：取 $AB$ 的中点 $N$，连接 $MN$、$CN$，设 $BD$ 与 $CN$ 交于点 $Q$。易知 $\tan \angle DBC=\frac{DC}{BC}=\sqrt{2}$，$\tan \angle BNC=\frac{BC}{BN}=\sqrt{2}$。整理得 $\tan \angle DBC=\tan \angle BNC$，所以 $\angle BNC=\angle DBC$。因此 $\angle BNC+\angle ABD=\angle DBC+\angle ABD=90^{\circ}$，故 $BD\perp CN$。因为 $SA\perp$ 平面 $ABCD$，$MN//SA$，所以 $... | 利用空间向量法求线面角；直线与平面垂直 | [] | |
zh_2603_math_0094 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 已知函数 $f(x)=lnx-mx$, $g(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}$\n\n(1) 若 m=1，求曲线 y=f(x) 在 x=1 处的切线方程；\n\n(2) 讨论 f(x) 的单调性；\n\n(3) 设 h(x)=f(x)+g(x)，若 h(x) 有两个极值点，求 m 的取值范围。 | [
"（1）y=-1",
"（2）当m≤0时，f(x)在（0，+∞）上单调递增；当m>0时，f(x)在（0，\\frac{1}{m}）上单调递增，在（\\frac{1}{m}，+∞）上单调递减",
"（3）(2,+∞)"
] | 解：(1) 由 $m=1$，得 $f(x)=\ln x-x$，则 $f(1)=-1$，又 $f'(x)=\frac{1}{x}-1$，所以 $f'(1)=0$，故曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=-1$；\n\n(2) 函数 f(x) 的定义域为 (0, +∞)，$f^{'}(x)=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$。当 m≤0 时，对任意 x>0 均有 $f^{'}(x)>0$，所以 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增；当 m>0 时，令 $f^{'}(x)=0$，得 x=$\frac{1}{m}$，当 x∈($\frac{1}{m}$, +∞) 时，$f^{'}(x)<0... | 利用导数求函数的单调性与单调区间；利用导数求极值点；利用导数求曲线在某点处的切线方程 | [] | |
zh_2603_math_0095 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知一组数据：2,5,7,x,10，平均数为6。该组数据的第60百分位数是（ ）
A. 7
B. 6.5
C. 6
D. 5.5
| [
"B"
] | 【分析】先根据平均数求出x的值，再将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求出数值。
解：数据组2,5,7,x,10的平均数为6；$\frac{2+5+7+x+10}{5}$ =6，解得x=6。所以数据为：2,5,6,7,10。由于$5\times60\%$ =3，该组数据的第60百分位数为：$\frac{6+7}{2}$ =6.5。因此，选：B。
| 百分位数；平均数 | [] | |
zh_2603_math_0096 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 2. 若复数 $z$ 满足 $z(3+4i)=25$，则 $z$ 在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
| [
"D"
] | 【分析】将已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 $z$ 的坐标得答案。
【解答】由 $z(3+4i)=25$，得 $z=\frac{25}{3+4i}=\frac{25(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{25(3-4i)}{3^{2}+4^{2}}=3-4i$。因此，$z$ 在复平面内对应的点的坐标为 (3, -4)，位于第四象限。故选 D。
| 复数的代数表示及其几何意义 | [] | |
zh_2603_math_0097 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知集合 $A=\{x|x^{2}-3x+2=0\}$，$B=\{x|0<x<5,x\in\mathbb{N}\}$，则 $A\cap B=$()\n\nA. {1, 2, 3, 4} B. {3, 4} C. {1, 2} D. {1} \n | [
"C"
] | 【分析】首先将集合 $A$ 和 $B$ 具体化，然后利用交集运算规则得到答案。\n\n【解答】解：集合 $A=\{x|x^{2}-3x+2=0\}=\{1,2\}$；$B=\{x|0<x<5,x\in\mathbb{N}\}=\{1,2,3,4\}$，所以 $A\cap B=\{1,2\}$。因此选：C。\n | 求集合的交集 | [] | |
zh_2603_math_0098 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知x∈R，则“$x^{2}-x>0$”是“$\frac{x+1}{x-2}>0$”的_______条件
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 | [
"B"
] | 【分析】分别解两个不等式，再判断关系。
【解答】因为$x^{2}-x>0$，解得x>1或x<0。
$\frac{x+1}{x-2}>0$等价于(x+1)(x-2)>0，所以x>2或x<-1。因此“$x^{2}-x>0$”是“$\frac{x+1}{x-2}>0$”的必要不充分条件。故选B。 | 充分必要条件的判断 | [] | |
zh_2603_math_0099 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 5. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a^2=b^2+bc+c^2$，则角 $A$ 为（ ）\n\nA. $\frac{\pi}{3}$\n\nB. $\frac{\pi}{6}$\n\nC. $\frac{2\pi}{3}$\n\nD. $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2\pi}{3}$\n | [
"C"
] | [分析] 根据已知条件，利用余弦定理得 $\cos A=-\frac{1}{2}$，进而求解。\n\n[解答] 由 $a^{2}=b^{2}+bc+c^{2}$，即 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=-bc$，根据余弦定理有 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}$。又因为 $A\in(0,\pi)$，所以 $A=\frac{2\pi}{3}$。故选 C。\n | 余弦定理 | [] | |
zh_2603_math_0100 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 抛物线有一个重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于对称轴的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点。已知抛物线$C$：$y^{2}=2px$（$p>0$），一束平行于$x$轴的光线经过点$A(3,1)$，射到抛物线$C$上的点$B$。经抛物线$C$反射后，经过抛物线$C$的焦点$F$。若$|AB|+|BF|=5$，则抛物线$C$的准线方程为（ ）\n\nA. $x=-4$ B. $x=-2$ C. $x=-1$ D. $x=-\frac{1}{2}$ \n | [
"B"
] | [分析]根据抛物线的定义，即可得到答案。\n\n[解答]由抛物线的定义，得$|AB|+|BF|=3+\frac{p}{2}=5$，解得$p=4$。则抛物线$C$的准线方程为$x=-\frac{p}{2}=-2$。故选B。\n | 抛物线的焦点和准线 | [] |
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LiveK12Bench
A bilingual (Chinese/English) K12 high school benchmark dataset covering four STEM subjects: Mathematics, Physics, Chemistry, and Biology. Questions are sourced from real Chinese high school exam papers and are available in both Chinese and English.
Code & Evaluation Framework: The full pipeline for exam parsing, model evaluation, and metrics is available at 👉 https://github.com/QQ-MM/LiveK12Bench
Dataset Structure
The dataset has four splits:
| Split | Language | Description |
|---|---|---|
zh_2603 |
Chinese | March 2026 batch — Chinese |
zh_2605 |
Chinese | May 2026 batch — Chinese |
en_2603 |
English | March 2026 batch — English |
en_2605 |
English | May 2026 batch — English |
Each split covers four subjects: biology, chemistry, math, physics.
Fields
| Field | Type | Description |
|---|---|---|
id |
string | Unique ID, e.g. zh_2603_math_0001 |
set |
string | Source batch: "2603" or "2605" |
subject |
string | biology / chemistry / math / physics |
question_type |
string | Question type (zh: 选择题 / 填空题 / 解答题 / 证明题; en: Multiple Choice / Fill in the Blank / Open-ended / Proof) |
point_value |
int | Score for this question |
question |
string | Question text (LaTeX inline math with $...$) |
answer |
list[str] | Answer(s). Choice: ["A"], ["ACD"]; fill/open: text |
solution |
string | Step-by-step solution |
knowledge_points |
string | Knowledge points / learning objectives covered |
images |
list[Image] | Referenced diagrams/figures (empty list if none) |
subset |
list[str] | Subset tags this question belongs to. Possible values: complex_layout (complex visual layout), rigorous_process (requires rigorous multi-step reasoning), long_reason (long reasoning chain). Empty list if none. Only populated for set=2603 questions. |
Dataset Statistics
| Category | Overall | Mathematics | Physics | Chemistry | Biology |
|---|---|---|---|---|---|
| Task Modality | |||||
| Text-Only (TO) | 1,096 | 617 (56.3%) | 65 (5.9%) | 240 (21.9%) | 174 (15.9%) |
| Text-Image (TI) | 1,018 | 155 (15.2%) | 331 (32.5%) | 292 (28.7%) | 240 (23.6%) |
| Image-Only (IO, Exam-mode) | 2,114 | 772 (36.5%) | 220 (10.4%) | 532 (25.2%) | 414 (19.6%) |
| Question Type | |||||
| Multiple-Choice (MCQ) | 1,473 | 444 (30.1%) | 274 (18.6%) | 419 (28.4%) | 336 (22.8%) |
| Fill-in-the-Blank (FIB) | 164 | 119 (72.6%) | 26 (15.9%) | 18 (11.0%) | 1 (0.6%) |
| Question-Answering (Q&A) | 477 | 209 (43.8%) | 96 (20.1%) | 95 (19.9%) | 77 (16.1%) |
| Total | 2,114 | 772 (36.5%) | 396 (18.7%) | 532 (25.2%) | 414 (19.6%) |
Usage
from datasets import load_dataset
ds = load_dataset("Shawn-wxh/livek12bench")
# Access Chinese math questions from the 2603 batch
zh_math = ds["zh_2603"].filter(lambda x: x["subject"] == "math")
# Access English biology multiple-choice
en_bio_mc = ds["en_2605"].filter(
lambda x: x["subject"] == "biology" and x["question_type"] == "Multiple Choice"
)
# Filter by subset (complex layout questions)
complex = ds["zh_2603"].filter(lambda x: "complex_layout" in x["subset"])
# Get a question
example = ds["en_2603"][0]
print(example["question"])
print(example["answer"])
print(example["solution"])
License
CC BY-NC 4.0 — Free for non-commercial research and educational use.
This dataset is intended for academic research purposes only. If any content is believed to infringe upon your copyright or intellectual property rights, please contact us at wangxh_shawn@foxmail.com with relevant documentation. We will review and remove the infringing content as soon as possible.
Citation
@misc{livek12bench2026,
title = {LiveK12Bench},
author = {Wang, Xiaohan and Yin, Mingze and Zhao, Yilin and Sinbadliu and Li, Dian},
year = {2026},
url = {https://github.com/QQ-MM/LiveK12Bench}
}
@misc{wang2026livek12bench,
title={LiveK12Bench: Have Large Multimodal Models Truly Conquered High School-level Examinations?},
author={Xiaohan Wang and Mingze Yin and Yilin Zhao and Gang Liu and Dian Li},
year={2026},
archivePrefix={arXiv},
url={https://arxiv.org/abs/2605.26781},
}
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